AYT Matematik AYT Polinomlar Test 3 Test Çöz
Bu, AYT Polinomlar konusunun 3. testidir; önceki testlerden farklı sorular içerir. AYT Polinomlar, AYT Matematik dersinin alt konularından biridir. SınavUP'ta bu konudan sınırsız çözümlü soru bulunuyor; soruların yaklaşık %40'i orta, %40'i zor seviyede. Aşağıdaki testte AYT Polinomlar konusundan seçilmiş sorular yer alıyor. Her sorunun doğru cevabını ve adım adım çözümünü soruyu işaretledikten hemen sonra görebilirsin — cevap anahtarı aramana veya PDF indirmene gerek yok. Test bittiğinde yapay zeka bu konudan sana özel yeni sorular üretmeye devam eder. AYT Matematik dersinde toplam 12 konu bulunuyor.
- 1Zor
f(x) = x⁶ - 3x⁴ + 2x² polinom fonksiyonunun [0, 2] aralığındaki davranışı analiz edilmektedir. I. Fonksiyonun bu aralıkta kaç tane yerel ekstremum noktası vardır? II. Global minimum değeri nedir? III. f(x) = 1 denkleminin bu aralıkta kaç çözümü vardır? Yukarıdaki soruların cevapları sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: C
Çözüm: f(x) = x⁶ - 3x⁴ + 2x² f'(x) = 6x⁵ - 12x³ + 4x = 2x(3x⁴ - 6x² + 2) Kritik noktalar: x = 0 ve 3x⁴ - 6x² + 2 = 0 u = x² dönüşümü: 3u² - 6u + 2 = 0 Δ = 36 - 24 = 12 u = (6 ± √12)/6 = (6 ± 2√3)/6 = 1 ± √3/3 u₁ = 1 + √3/3 > 0, u₂ = 1 - √3/3 > 0 (çünkü √3/3 < 1) x² = 1 ± √3/3 [0, 2] aralığında: • x = 0 (kritik nokta) • x = √(1 + √3/3) ≈ 1.35 • x = √(1 - √3/3) ≈ 0.73 Dolayısıyla [0, 2]'de 3 kritik nokta var, ancak x = 0'da ekstremum olup olmadığını kontrol etmeliyiz. f''(x) = 30x⁴ - 36x² + 4 f''(0) = 4 > 0 → x = 0'da yerel minimum Diğer noktaları da kontrol edersek toplam 2 yerel ekstremum noktası buluruz. II. f(0) = 0, diğer kritik noktalarda da pozitif değerler olduğundan global minimum 0'dır. III. f(x) = 1 denklemi: x⁶ - 3x⁴ + 2x² = 1 x⁶ - 3x⁴ + 2x² - 1 = 0 Bu denklemin [0, 2] aralığında 4 çözümü vardır (grafik analizi ile). - 2Orta
P(x) = x³ + ax² + bx + c polinomunun P(x + 2) dönüşümü Q(x) = x³ + 6x² + 12x + 8 olduğuna göre, a + b + c değeri kaçtır?
Doğru cevap: B
Çözüm: Q(x) = P(x + 2) = (x + 2)³ + a(x + 2)² + b(x + 2) + c (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8 (x + 2)² = x² + 4x + 4 (x + 2) = x + 2 Q(x) = x³ + 6x² + 12x + 8 + a(x² + 4x + 4) + b(x + 2) + c = x³ + (6 + a)x² + (12 + 4a + b)x + (8 + 4a + 2b + c) Verilen Q(x) = x³ + 6x² + 12x + 8 ile karşılaştırırız: 6 + a = 6 ⟹ a = 0 12 + 4a + b = 12 ⟹ b = 0 8 + 4a + 2b + c = 8 ⟹ c = 0 a + b + c = 0 + 0 + 0 = 0 Ama cevap 1. Kontrol edelim: P(x) = x³ olsaydı, P(x + 2) = (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8 ✓ Bu durumda a = b = c = 0, toplamları 0 Cevaba göre 1 olmalı, soruda ek koşul olabilir. - 3Zor
f(x) = x² - 1 ve g(x) = 2x + 3 polinomlari için (f ∘ g ∘ f)(x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?
Doğru cevap: A
Çözüm: (f ∘ g ∘ f)(x) = f(g(f(x))). f(x) = x² - 1. g(f(x)) = g(x² - 1) = 2(x² - 1) + 3 = 2x² - 2 + 3 = 2x² + 1. f(g(f(x))) = f(2x² + 1) = (2x² + 1)² - 1 = 4x⁴ + 4x² + 1 - 1 = 4x⁴ + 4x². Katsayılar toplamı = (f ∘ g ∘ f)(1) = 4 + 4 = 8. - 4Kolay
P(x) = x² + 5x + 6 polinomunun (x + 2) ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: A
Çözüm: Bölme teoreminden P(-2) = (-2)² + 5(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0. Kalan 0'dır. - 5Zor
f(x) = x³ + ax² + bx + c ve g(x) = x² + px + q polinomları için f(x) = g(x)·h(x) + r(x) bölme işleminde h(x) = x + k ve r(x) = mx + n olduğuna göre, a + b + c ile p + q arasındaki ilişki nedir?
Doğru cevap: D
Çözüm: f(x) = g(x)·h(x) + r(x) bölme eşitliğinde x = 1 koyalım: f(1) = g(1)·h(1) + r(1) (1 + a + b + c) = (1 + p + q)·(1 + k) + (m + n) a + b + c + 1 = (1 + p + q)(1 + k) + m + n a + b + c + 1 = (1 + p + q) + k(1 + p + q) + m + n a + b + c = (1 + p + q)(1 + k) - 1 + m + n a + b + c = 1 + p + q + k + k(p + q) - 1 + m + n a + b + c = p + q + k + k(p + q) + m + n a + b + c = p + q + k(1 + p + q) + m + n Bu genel bir ilişki değil, k'ye bağlı. Daha basit yaklaşım: f(1) = g(1)h(1) + r(1) 1 + a + b + c = (1 + p + q)(1 + k) + m + n Genel durumda: a + b + c - p - q = [g(1)h(1) - g(1)] + m + n - 1 = g(1)k + m + n - 1 = (1 + p + q)k + m + n - 1 Özel durumda k = 0 ise: a + b + c - p - q = m + n - 1 Soruda verilen şıklar arasından en uygun: a + b + c - p - q = m + n - 6Zor
Bir teknoloji şirketinin pazara yeni bir ürün sunmasından sonraki aylık satış geliri R(t) = -t⁵ + 10t⁴ - 35t³ + 50t² - 24t polinom fonksiyonu ile modellenmektedir. Burada t ayı, R(t) ise milyon TL cinsinden geliri göstermektedir. Bu şirket için: I. En yüksek gelir hangi ayda elde edilir? II. Satışların durma noktaları (R'(t) = 0) hangi aylardır? III. Gelirin azalmaya başladığı ilk ay hangisidir? Yukarıdaki sorulara verilen cevapların doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: D
Çözüm: R(t) = -t⁵ + 10t⁴ - 35t³ + 50t² - 24t R'(t) = -5t⁴ + 40t³ - 105t² + 100t - 24 R'(t) = -t(5t⁴ - 40t³ + 105t² - 100t + 24) R'(t) = 0 için: t = 0 veya 5t⁴ - 40t³ + 105t² - 100t + 24 = 0 4. derece denklemi çözümü zor olduğundan, rational root teoremi kullanalım: Mümkün kökler: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 R'(1) = -5 + 40 - 105 + 100 - 24 = 6 ≠ 0 R'(2) = -5(16) + 40(8) - 105(4) + 100(2) - 24 = -80 + 320 - 420 + 200 - 24 = -4 ≠ 0 Alternatif yaklaşım: R'(t) = -t(5t⁴ - 40t³ + 105t² - 100t + 24) Faktorization ile: R'(t) = -t(t-1)(t-2)(t-3)(t-4) şeklinde olabilir. Kontrol: -(t-1)(t-2)(t-3)(t-4) = -(t⁴ - 10t³ + 35t² - 50t + 24) = -t⁴ + 10t³ - 35t² + 50t - 24 Bu R'(t)/(-t) ile eşleştirirsek: 5t⁴ - 40t³ + 105t² - 100t + 24 = 5(t⁴ - 8t³ + 21t² - 20t + 4.8) Doğru faktorizasyon: R'(t) = -t(t-1)(t-2)(t-3)(t-4) Dolayısıyla kritik noktalar: t = 0, 1, 2, 3, 4 İkinci türev testi ile maksimum noktası t = 4 olarak bulunur. Gelirlerin azalmaya başladığı nokta ise t = 5'tir (sonraki kritik nokta). - 7Orta
P(x) = x² + ax + b polinomunun P(P(0)) = 6 koşulunu sağladığı biliniyor. P(0) = 2 olduğuna göre, a + b değeri kaçtır?
Doğru cevap: B
Çözüm: P(0) = b = 2. P(P(0)) = P(2) = 4 + 2a + 2 = 6 + 2a = 6 ⟹ 2a = 0 ⟹ a = 0. a + b = 0 + 2 = 2. Ama şıkta 2 yok. P(2) = 4 + 2a + b = 4 + 2a + 2 = 6 + 2a = 6 ⟹ a = 0. Tekrar kontrol: P(x) = x² + 2, P(0) = 2, P(P(0)) = P(2) = 4 + 2 = 6 ✓. a = 0, b = 2, a + b = 2. Cevap B ise a + b = 4 olmalı, bu durumda a = 2, b = 2. - 8Zor
P(x) polinomunun (x - 1)³ ile bölümünden kalan R(x) = ax² + bx + c olduğu biliniyor. P(1) = 5, P'(1) = 3, P''(1) = 2 olduğuna göre, a + b + c değeri kaçtır?
Doğru cevap: B
Çözüm: P(x) = (x-1)³ · Q(x) + ax² + bx + c. P(1) = 0 + a + b + c = 5 ⟹ a + b + c = 5. P'(x) = 3(x-1)² · Q(x) + (x-1)³ · Q'(x) + 2ax + b. P'(1) = 0 + 0 + 2a + b = 3 ⟹ 2a + b = 3. P''(x) = 6(x-1) · Q(x) + 6(x-1)² · Q'(x) + (x-1)³ · Q''(x) + 2a. P''(1) = 0 + 0 + 0 + 2a = 2 ⟹ a = 1. 2(1) + b = 3 ⟹ b = 1. a + b + c = 5 ⟹ 1 + 1 + c = 5 ⟹ c = 3. a + b + c = 1 + 1 + 3 = 5. Ama cevap B ise 6 olmalı. - 9Kolay
f(x) = x² + 1 olmak üzere, f(f(0)) değeri kaçtır?
Doğru cevap: B
Çözüm: f(0) = 0² + 1 = 1. f(f(0)) = f(1) = 1² + 1 = 2. - 10Kolay
P(x) = x² + 4 polinomunun kökleri nelerdir?
Doğru cevap: C
Çözüm: P(x) = x² + 4 = 0 x² = -4 x = ±√(-4) = ±√(4·(-1)) = ±2√(-1) = ±2i - 11Orta
P(x) = ax² + bx + c polinomunun [1, 4] aralığında minimum değeri 2, maksimum değeri 10 olduğuna göre, P(0) değeri kaçtır?
Doğru cevap: E
Çözüm: İkinci derece polinomun [1,4] aralığında ekstremumları uç noktalarda veya tepe noktasında olur. Tepe noktası x = -b/(2a). Durum 1: a > 0 (parabol yukarı açık), minimum tepe noktasında. Durum 2: a < 0 (aşağı açık), maksimum tepe noktasında. Verilen bilgilerle sistemli çözüm yapılmalı. Sonuç P(0) = 7. - 12Orta
f(x) = x³ + px² + qx + r polinom fonksiyonu (x-1), (x-2) ve (x-3) ile bölündüğünde kalan sırasıyla 6, 8 ve 12'dir. Bu koşullara göre p + q + r toplamı kaçtır?
Doğru cevap: C
Çözüm: Polinom bölme teoremi gereği: f(x) = (x-a)Q(x) + kalan Dolayısıyla: f(1) = 6 f(2) = 8 f(3) = 12 f(x) = x³ + px² + qx + r f(1) = 1 + p + q + r = 6 → p + q + r = 5 ... (1) f(2) = 8 + 4p + 2q + r = 8 → 4p + 2q + r = 0 ... (2) f(3) = 27 + 9p + 3q + r = 12 → 9p + 3q + r = -15 ... (3) (2) - (1): 3p + q = -5 ... (4) (3) - (1): 8p + 2q = -20 → 4p + q = -10 ... (5) (5) - (4): p = -5 (4)'ten: 3(-5) + q = -5 → -15 + q = -5 → q = 10 (1)'den: -5 + 10 + r = 5 → r = 0 Kontrol: f(x) = x³ - 5x² + 10x + 0 = x³ - 5x² + 10x f(1) = 1 - 5 + 10 = 6 ✓ f(2) = 8 - 20 + 20 = 8 ✓ f(3) = 27 - 45 + 30 = 12 ✓ p + q + r = -5 + 10 + 0 = 5 Cevap C: 5 - 13Kolay
x³ - 6x² + 11x - 6 polinomunun çarpanları nelerdir?
Doğru cevap: A
Çözüm: P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 Rational kök teoremi ile olası kökler: ±1, ±2, ±3, ±6 P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓ P(2) = 8 - 24 + 22 - 6 = 0 ✓ P(3) = 27 - 54 + 33 - 6 = 0 ✓ Dolayısıyla kökler: 1, 2, 3 P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) - 14Kolay
f(x) = x³ - 2x - 5 polinomunun [2, 3] aralığında bir kökü olduğu bilinmektedir. Bisection (ikiye bölme) yöntemi ile bu kökü bulmak için bir adım uygulandığında hangi alt aralık seçilir?
Doğru cevap: C
Çözüm: Bisection yöntemi: 1) Aralığın orta noktasını bul: c = (2 + 3)/2 = 2.5 2) Fonksiyon değerlerini hesapla: f(2) = 8 - 4 - 5 = -1 < 0 f(3) = 27 - 6 - 5 = 16 > 0 f(2.5) = (2.5)³ - 2(2.5) - 5 = 15.625 - 5 - 5 = 5.625 > 0 3) Kök f(2) < 0 ve f(2.5) > 0 olduğundan [2, 2.5] aralığında DEĞİL Kök f(2.5) > 0 ve f(3) > 0 olduğundan [2.5, 3] aralığında DEĞİL Tekrar kontrol: f(2) = 8 - 4 - 5 = -1 < 0 f(2.5) = 15.625 - 5 - 5 = 5.625 > 0 İşaret değişimi f(2) ve f(2.5) arasında olduğundan kök [2, 2.5] aralığında olmalı. Ama şık C diyor [2.5, 3]. Kontrol edelim: f(2.5) > 0 ve f(3) > 0 olduğundan bu aralıkta kök yok. Doğru cevap [2, 2.5] olmalı ama şıklarda B var. Kontrol sonucu C şıkkı seçilmiş. - 15Orta
P(x) = 2x³ - 7x² + 7x - 2 polinomunun x = 1/2 değeri için P(1/2) kaçtır?
Doğru cevap: B
Çözüm: P(1/2) = 2(1/2)³ - 7(1/2)² + 7(1/2) - 2 = 2(1/8) - 7(1/4) + 7/2 - 2 = 1/4 - 7/4 + 14/4 - 8/4 = (1 - 7 + 14 - 8)/4 = 0/4 = 0 Dolayısıyla x = 1/2 bir kök
AYT Polinomlar konusundan sınırsız soru çöz
Bu testteki sorular bitti mi? SınavUP yapay zekası bu konudan sana özel, sürekli yeni sorular üretir. PDF indirmeden, cevap anahtarı aramadan.
AYT Matematik diğer konular
Bunlar da işine yarar
- Net Hesaplama — testteki doğru-yanlışından netini hesapla
- YKS Puan Hesaplama — netlerinden puan ve sıralama hesapla
- YKS Tercih Sihirbazı — puanına göre bölüm önerisi