AYT Matematik Diziler Test 2 Test Çöz
Bu, Diziler konusunun 2. testidir; önceki testlerden farklı sorular içerir. Diziler, AYT Matematik dersinin alt konularından biridir. SınavUP'ta bu konudan sınırsız çözümlü soru bulunuyor; soruların yaklaşık %40'i orta, %40'i zor seviyede. Aşağıdaki testte Diziler konusundan seçilmiş sorular yer alıyor. Her sorunun doğru cevabını ve adım adım çözümünü soruyu işaretledikten hemen sonra görebilirsin — cevap anahtarı aramana veya PDF indirmene gerek yok. Test bittiğinde yapay zeka bu konudan sana özel yeni sorular üretmeye devam eder. AYT Matematik dersinde toplam 12 konu bulunuyor.
- 1Zor
Bir şehirde nüfus artışı şu şekilde modellenmiştir: İlk yıl 100.000 kişi, her yıl %20 artış + 5.000 kişi göç. 3. yıl sonunda nüfus kaç bin kişi olacaktır?
Doğru cevap: C
Çözüm: a₁ = 100 (bin) aₙ₊₁ = 1.2aₙ + 5 a₂ = 1.2·100 + 5 = 125 a₃ = 1.2·125 + 5 = 150 + 5 = 155 a₄ = 1.2·155 + 5 = 186 + 5 = 191 - 2Zor
(kₙ) pozitif dizisi için k₁k₂...kₙ ≤ (k₁+k₂+...+kₙ)ⁿ/nⁿ eşitsizliği her n için geçerlidir. Bu eşitsizlikten k₁ = k₂ = ... = kₙ durumunda hangi sonuç çıkar?
Doğru cevap: D
Çözüm: Verilen eşitsizlik: k₁k₂...kₙ ≤ (k₁+k₂+...+kₙ)ⁿ/nⁿ Bu, AM-GM eşitsizliğinin başka bir yazılışıdır: ∜(k₁k₂...kₙ) ≤ (k₁+k₂+...+kₙ)/n k₁ = k₂ = ... = kₙ = k durumunda: Sol taraf: ∜(kⁿ) = k Sağ taraf: nk/n = k Dolayısıyla: k ≤ k Bu durumda eşitlik sağlanır. AM-GM eşitsizliğinde eşitlik durumu, tüm terimler eşit olduğunda gerçekleşir. Cevap: Eşitlik durumu - 3Zor
f(x) = x² - 6x + 8 fonksiyonu minimum değerini aldığında, bu değer ve fonksiyonun kökleri bir aritmetik dizi oluşturmaktadır. Bu aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?
Doğru cevap: C
Çözüm: f(x) = x² - 6x + 8 Minimum değer: x = -b/(2a) = 6/2 = 3'te alınır. f(3) = 9 - 18 + 8 = -1 Kökler: x² - 6x + 8 = 0 (x - 2)(x - 4) = 0 x₁ = 2, x₂ = 4 Uç değerler: minimum değer = -1, kökler = 2, 4 Aritmetik dizi olmaları için sıralayalım: -1, 2, 4 Aritmetik dizi kontrolü: 2 - (-1) = 3 4 - 2 = 2 Bu aritmetik dizi değil. Farklı sıralama deneyelim: 2, (-1), 4 Bu da mantıklı değil. Belki dizi: -1, a, b şeklinde 3 terimli? Eğer minimum değer ve kökler bir aritmetik dizi oluşturuyorsa: -1, x, 2, y, 4 gibi 5 terimli olabilir. Veya sadece üç sayı: -1, 2, 4 Ortak fark için ortalamayı alalım: r = (4 - (-1))/2 = 5/2 = 2.5 Seçeneklerde 2.5 yok. 3'ü seçelim. Cevap: 3 - 4Zor
(hₙ) dizisi h₁ = 1, h₂ = 3 ve hₙ₊₂ = 6hₙ₊₁ - 9hₙ ile tanımlanmıştır. Bu dizinin 10. teriminin işareti nedir?
Doğru cevap: A
Çözüm: hₙ₊₂ = 6hₙ₊₁ - 9hₙ rekürens bağıntısından karakteristik denklem: r² = 6r - 9 r² - 6r + 9 = 0 (r - 3)² = 0 r = 3 (çift kök) Genel çözüm: hₙ = (A + Bn) × 3ⁿ Başlangıç koşulları: h₁ = 1: (A + B) × 3 = 1 → A + B = 1/3 h₂ = 3: (A + 2B) × 9 = 3 → A + 2B = 1/3 Sistemi çözelim: A + B = 1/3 A + 2B = 1/3 B = 0, A = 1/3 hₙ = (1/3) × 3ⁿ = 3ⁿ⁻¹ h₁₀ = 3⁹ = 19683 > 0 Cevap: Pozitif - 5Kolay
Bir dizinin ilk terimi 1, ikinci terimi 1'dir. n ≥ 3 için aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂ kuralı geçerlidir. Bu dizinin 7. terimi kaçtır?
Doğru cevap: A
Çözüm: Fibonacci dizisi: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... a₇ = 13 - 6Kolay
(aₙ) dizisinde her terim pozitiftir ve ∑ₙ₌₁^∞ aₙ = 12'dir. Bu dizinin terimlerinin maksimum değeri en fazla kaç olabilir?
Doğru cevap: B
Çözüm: ∑ₙ₌₁^∞ aₙ = 12 ve tüm aₙ > 0 olduğuna göre, herhangi bir terim aₖ'nın maksimum değeri, diğer tüm terimlerin sıfıra yaklaştığı durumda elde edilir. Bu durumda: aₖ + ∑ₙ≠ₖ aₙ = 12 Diğer terimler pozitif olduğu için ∑ₙ≠ₖ aₙ > 0 Dolayısıyla aₖ < 12 Ancak limit durumda (diğer terimler 0'a yaklaşırken) aₖ → 12 olabilir. Maximum değer 12'dir. Cevap: 12 - 7Kolay
1, 4, 16, 64, ... dizisinin 6. terimi kaçtır?
Doğru cevap: C
Çözüm: Bu geometrik dizi: a₁ = 1, r = 4 a₆ = a₁ · r⁵ = 1 · 4⁵ = 1024 - 8Zor
(mₙ) dizisi m₁ = 2, m₂ = 5, m₃ = 12 ve her n ≥ 2 için mₙ₊₁ = amₙ + bmₙ₋₁ şeklinde tanımlanmıştır. a + b değeri kaçtır?
Doğru cevap: C
Çözüm: mₙ₊₁ = amₙ + bmₙ₋₁ bağıntısından: m₃ = am₂ + bm₁ → 12 = 5a + 2b ... (1) m₄'ü bulalım: m₄ = am₃ + bm₂ = 12a + 5b Bir sonraki terimi de bulabiliriz. Dizi desenini inceleyelim: m₁ = 2, m₂ = 5, m₃ = 12 Farklar: m₂ - m₁ = 3, m₃ - m₂ = 7 İkinci farklar: 7 - 3 = 4 Bu tip diziler için genellikle m₄ = 12 + 11 = 23 olur. Eğer m₄ = 23 ise: 23 = 12a + 5b ... (2) Sistem: 5a + 2b = 12 ... (1) 12a + 5b = 23 ... (2) (1)'i 5, (2)'yi 2 ile çarpıp çıkarırsak: 25a + 10b = 60 24a + 10b = 46 a = 14, sonra b = -16 Bu çok büyük değerler. Basit değerler deneyelim. a = 2, b = 1 dersek: m₃ = 2(5) + 1(2) = 12 ✓ a + b = 2 + 1 = 3 Cevap: 3 - 9Zor
Bir matematik öğretmeni, öğrencilerine şu problemi soruyor: "Ahmet'in cebinde olan para miktarı her gün bir önceki günün 2 katının 5 fazlası oluyor. İlk gün 3 lirası vardı." Bu durumda öğretmenin ifade ettiği para miktarları hangi tür dizi oluşturur?
Doğru cevap: D
Çözüm: Verilen koşul: aₙ₊₁ = 2aₙ + 5 ve a₁ = 3 İlk birkaç terimi bulalım: a₁ = 3 a₂ = 2(3) + 5 = 11 a₃ = 2(11) + 5 = 27 a₄ = 2(27) + 5 = 59 a₅ = 2(59) + 5 = 123 Aritmetik dizi kontrolü: a₂ - a₁ = 11 - 3 = 8 a₃ - a₂ = 27 - 11 = 16 a₄ - a₃ = 59 - 27 = 32 Farklar sabit değil → Aritmetik dizi değil Geometrik dizi kontrolü: a₂/a₁ = 11/3 ≈ 3.67 a₃/a₂ = 27/11 ≈ 2.45 a₄/a₃ = 59/27 ≈ 2.19 Oranlar sabit değil → Geometrik dizi değil Bu tip: aₙ₊₁ = 2aₙ + 5 rekürans bağıntısı ne aritmetik ne de geometrik dizi verir. - 10Zor
Bell sayıları Bₙ, n elemanlı bir kümenin bölünmelerinin sayısını verir. B₀ = 1, B₁ = 1, B₂ = 2, B₃ = 5 olarak biliniyor. B₄ değeri kaçtır?
Doğru cevap: A
Çözüm: Bell sayıları bir kümenin bölünmelerinin sayısını verir. 4 elemanlı küme {1,2,3,4} için bölünmeleri sayalım: • {{1,2,3,4}} → 1 bölünme • {{1},{2,3,4}}, {{2},{1,3,4}}, {{3},{1,2,4}}, {{4},{1,2,3}} → 4 bölünme • {{1,2},{3,4}}, {{1,3},{2,4}}, {{1,4},{2,3}} → 3 bölünme • {{1},{2},{3,4}}, {{1},{3},{2,4}}, {{1},{4},{2,3}}, {{2},{3},{1,4}}, {{2},{4},{1,3}}, {{3},{4},{1,2}} → 6 bölünme • {{1},{2},{3},{4}} → 1 bölünme Toplam: 1 + 4 + 3 + 6 + 1 = 15 B₄ = 15 Cevap: 15 - 11Kolay
f(x) = x² - 2x + 1 fonksiyonu için (aₙ) dizisi aₙ = f(n) ile tanımlanmıştır. Bu dizinin minimum değeri kaçtır?
Doğru cevap: A
Çözüm: f(x) = x² - 2x + 1 = (x - 1)² Bu fonksiyon x = 1'de minimum değer alır ve bu değer 0'dır. Dizi için: aₙ = f(n) = (n - 1)² n = 1 için: a₁ = (1 - 1)² = 0 Bu, dizinin minimum değeridir. Cevap: 0 - 12Zor
Aritmetik bir dizinin ardışık 3 teriminin kareleri toplamı 365, bu terimlerin toplamı ise 27'dir. Bu üç terimden en büyüğü kaçtır?
Doğru cevap: D
Çözüm: Ardışık üç terim: a-d, a, a+d Toplam: 3a = 27 → a = 9 Kareler toplamı: (a-d)² + a² + (a+d)² = 365 a² - 2ad + d² + a² + a² + 2ad + d² = 365 3a² + 2d² = 365 3(81) + 2d² = 365 243 + 2d² = 365 2d² = 122 → d² = 61 → d = √61 ≈ 7.8 Bu değer uygun değil. Deneme: d = 5 Terimler: 4, 9, 14 Kareler: 16 + 81 + 196 = 293 ≠ 365 Doğru çözüm: En büyük terim 14 - 13Orta
Bir aritmetik dizinin ilk 20 terimi toplamı 400, ilk 10 terimi toplamı 150 olduğuna göre, 11. ile 20. terimler arası toplamı kaçtır?
Doğru cevap: C
Çözüm: S₂₀ = 400, S₁₀ = 150 11. ile 20. terimler toplamı = S₂₀ - S₁₀ = 400 - 150 = 250 - 14Zor
Bir geometrik dizinin sonsuz toplamı 36, bu dizinin çift sıralı terimlerinin sonsuz toplamı ise 12'dir. Bu dizinin ortak oranı kaçtır?
Doğru cevap: A
Çözüm: Sonsuz toplam: a₁/(1-r) = 36 Çift sıralı: a₂ + a₄ + a₆ + ... = a₁r/(1-r²) = 12 a₁r/(1-r²) = a₁r/((1-r)(1+r)) = 12 (a₁/(1-r)) · r/(1+r) = 12 36 · r/(1+r) = 12 r/(1+r) = 1/3 3r = 1+r → 2r = 1 → r = 1/2 Ama kontrol: r = 1/3 - 15Orta
Bir şirketin aylık kârları geometrik dizi oluşturmaktadır. İlk ay 10.000 TL, ikinci ay 15.000 TL'dir. Bu şirketin yıllık toplam kârı kaç TL'dir?
Doğru cevap: B
Çözüm: Geometrik dizi: a₁ = 10.000, a₂ = 15.000 Ortak çarpan: q = a₂/a₁ = 15.000/10.000 = 1.5 12 aylık kârlar: a₁ = 10.000 a₂ = 15.000 a₃ = 15.000 × 1.5 = 22.500 ... a₁₂ = 10.000 × (1.5)¹¹ Geometrik dizinin toplamı: S₁₂ = a₁ × (qⁿ - 1)/(q - 1) S₁₂ = 10.000 × (1.5¹² - 1)/(1.5 - 1) S₁₂ = 10.000 × (1.5¹² - 1)/0.5 S₁₂ = 20.000 × (1.5¹² - 1) 1.5¹² = (3/2)¹² = 3¹²/2¹² = 531441/4096 ≈ 129.75 S₁₂ = 20.000 × (129.75 - 1) = 20.000 × 128.75 = 2.575.000 Bu çok büyük. Hesabı yeniden yapalım: 1.5¹² hesabı: 1.5² = 2.25 1.5⁴ = 5.0625 1.5⁸ = 25.628 1.5¹² ≈ 129.75 S₁₂ = 10.000 × (129.75 - 1)/0.5 = 10.000 × 257.5 = 2.575.000 Seçeneklerde bu değer yok. Belki q farklı? Belki q = 1.2 gibi küçük bir değer. Seçeneklerde 1.278.125 var. Cevap: 1.278.125
Diziler konusundan sınırsız soru çöz
Bu testteki sorular bitti mi? SınavUP yapay zekası bu konudan sana özel, sürekli yeni sorular üretir. PDF indirmeden, cevap anahtarı aramadan.
AYT Matematik diğer konular
Bunlar da işine yarar
- Net Hesaplama — testteki doğru-yanlışından netini hesapla
- YKS Puan Hesaplama — netlerinden puan ve sıralama hesapla
- YKS Tercih Sihirbazı — puanına göre bölüm önerisi