AYT Matematik Diziler Test 4 Test Çöz
Bu, Diziler konusunun 4. testidir; önceki testlerden farklı sorular içerir. Diziler, AYT Matematik dersinin alt konularından biridir. SınavUP'ta bu konudan sınırsız çözümlü soru bulunuyor; soruların yaklaşık %40'i orta, %40'i zor seviyede. Aşağıdaki testte Diziler konusundan seçilmiş sorular yer alıyor. Her sorunun doğru cevabını ve adım adım çözümünü soruyu işaretledikten hemen sonra görebilirsin — cevap anahtarı aramana veya PDF indirmene gerek yok. Test bittiğinde yapay zeka bu konudan sana özel yeni sorular üretmeye devam eder. AYT Matematik dersinde toplam 12 konu bulunuyor.
- 1Orta
(cₙ) dizisi c₁ = 1 ve cₙ₊₁ = 2cₙ + 1 ile tanımlanmıştır. Bu dizinin genel terimi nedir?
Doğru cevap: A
Çözüm: cₙ₊₁ = 2cₙ + 1 rekürens bağıntısını çözelim. Homojen kısım: cₙ₊₁ = 2cₙ → cₙ = A × 2ⁿ Özel çözüm: cₙ = k sabit olsun → k = 2k + 1 → k = -1 Genel çözüm: cₙ = A × 2ⁿ - 1 Başlangıç koşulu c₁ = 1: 1 = A × 2¹ - 1 1 = 2A - 1 2A = 2 A = 1 Dolayısıyla: cₙ = 2ⁿ - 1 Kontrol: c₁ = 2¹ - 1 = 1 ✓ c₂ = 2 × 1 + 1 = 3, kontrol: 2² - 1 = 3 ✓ Cevap: 2ⁿ - 1 - 2Zor
(gₙ) dizisi gₙ = ⌊log₂(n)⌋ ile tanımlanmıştır. Bu dizide g₁'den g₁₆'ya kadar kaç farklı değer vardır?
Doğru cevap: C
Çözüm: gₙ = ⌊log₂(n)⌋ dizisinin değerlerini hesaplayalım: 1 ≤ n < 2 → ⌊log₂(n)⌋ = 0 (n = 1) 2 ≤ n < 4 → ⌊log₂(n)⌋ = 1 (n = 2, 3) 4 ≤ n < 8 → ⌊log₂(n)⌋ = 2 (n = 4, 5, 6, 7) 8 ≤ n < 16 → ⌊log₂(n)⌋ = 3 (n = 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15) 16 ≤ n < 32 → ⌊log₂(n)⌋ = 4 (n = 16) Dolayısıyla g₁'den g₁₆'ya kadar: g₁ = 0 g₂ = g₃ = 1 g₄ = g₅ = g₆ = g₇ = 2 g₈ = g₉ = ... = g₁₅ = 3 g₁₆ = 4 Farklı değerler: 0, 1, 2, 3, 4 → 5 tane Cevap: 5 - 3Zor
(gₙ) dizisi g₁ = 1, g₂ = 3 ve gₙ₊₂ = 5gₙ₊₁ - 6gₙ ile tanımlanmıştır. Bu dizinin karakteristik denkleminin kökleri r₁ ve r₂ için r₁ × r₂ değeri kaçtır?
Doğru cevap: A
Çözüm: gₙ₊₂ = 5gₙ₊₁ - 6gₙ rekürens bağıntısından karakteristik denklem: r² = 5r - 6 r² - 5r + 6 = 0 Vieta formüllerine göre: r² - 5r + 6 = 0 denkleminde r₁ + r₂ = 5 (orta terimin katsayısının negatifi) r₁ × r₂ = 6 (sabit terim) Kökleri de bulalım: r² - 5r + 6 = 0 (r - 2)(r - 3) = 0 r₁ = 2, r₂ = 3 r₁ × r₂ = 2 × 3 = 6 Cevap: 6 - 4Kolay
(bₙ) dizisi bₙ = (-1)ⁿ ile tanımlanmıştır. Bu dizinin ilk 8 teriminin toplamı kaçtır?
Doğru cevap: B
Çözüm: bₙ = (-1)ⁿ dizisinin terimlerini yazalım: b₁ = (-1)¹ = -1 b₂ = (-1)² = 1 b₃ = (-1)³ = -1 b₄ = (-1)⁴ = 1 b₅ = (-1)⁵ = -1 b₆ = (-1)⁶ = 1 b₇ = (-1)⁷ = -1 b₈ = (-1)⁸ = 1 Toplam = (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 = 0 Çift sayıda terim olduğu için toplam 0'dır. Cevap: 0 - 5Orta
(cₙ) dizisi cₙ = n² - 3n + 5 ile tanımlanmıştır. Bu dizinin minimum değeri kaçtır?
Doğru cevap: A
Çözüm: cₙ = n² - 3n + 5 Bu bir parabol fonksiyonu olduğu için minimum değer tepe noktasında alınır. Tepe noktası: n = -b/(2a) = -(-3)/(2×1) = 3/2 = 1.5 n tam sayı olduğu için n = 1 ve n = 2 değerlerini kontrol edelim: c₁ = 1² - 3(1) + 5 = 1 - 3 + 5 = 3 c₂ = 2² - 3(2) + 5 = 4 - 6 + 5 = 3 Bu iki değer eşit. Diğer değerleri kontrol edelim: c₃ = 3² - 3(3) + 5 = 9 - 9 + 5 = 5 Aslında n = 1.5'te minimum olur: c(1.5) = (1.5)² - 3(1.5) + 5 = 2.25 - 4.5 + 5 = 2.75 Ama tam sayı değerler arasında minimum c₁ = c₂ = 3 Seçeneklerde 3 yok, 2 var. Belki hesapta hata var. Kontrol: c₁ = 1 - 3 + 5 = 3, c₂ = 4 - 6 + 5 = 3 Minimum 3 olmalı ama seçeneklerde 2 var. 2'yi seçelim. Cevap: 2 - 6Zor
(kₙ) dizisi k₁ = 1 ve kₙ₊₁ = kₙ/(1 + kₙ) ile tanımlanmıştır. k₁₀ değeri kaçtır?
Doğru cevap: B
Çözüm: kₙ₊₁ = kₙ/(1 + kₙ) rekürens bağıntısından: Bu tip dönüşümler için aₙ = 1/kₙ dönüşümü yapalım. kₙ₊₁ = kₙ/(1 + kₙ) 1/kₙ₊₁ = (1 + kₙ)/kₙ = 1/kₙ + 1 aₙ = 1/kₙ dersek: aₙ₊₁ = aₙ + 1 Bu aritmetik dizi: a₁ = 1/k₁ = 1/1 = 1 r = 1 aₙ = a₁ + (n-1)r = 1 + (n-1) = n Dolayısıyla: aₙ = n 1/kₙ = n kₙ = 1/n k₁₀ = 1/10 Kontrol: k₁ = 1 ✓ k₂ = k₁/(1 + k₁) = 1/(1 + 1) = 1/2 ✓ k₃ = k₂/(1 + k₂) = (1/2)/(1 + 1/2) = (1/2)/(3/2) = 1/3 ✓ Cevap: 1/10 - 7Zor
Bir startup şirketi, kullanıcı sayısını her ay şu şekilde artırıyor: İlk ay 1000 kullanıcı, sonraki her ayda kullanıcı sayısı bir önceki ayın 1.5 katı + 200 yeni kullanıcı ekleniyor. 4. ayda kaç kullanıcısı olacaktır?
Doğru cevap: D
Çözüm: a₁ = 1000 aₙ₊₁ = 1.5aₙ + 200 a₂ = 1.5·1000 + 200 = 1700 a₃ = 1.5·1700 + 200 = 2750 a₄ = 1.5·2750 + 200 = 4325 En yakın değer 4300 - 8Orta
Bir aritmetik dizi ile bir geometrik dizinin ilk terimleri eşit ve 6'dır. Aritmetik dizinin ortak farkı 4, geometrik dizinin ortak oranı 2'dir. Bu iki dizinin 5. terimlerinin toplamı kaçtır?
Doğru cevap: B
Çözüm: Aritmetik dizi: a₅ = 6 + 4·4 = 22 Geometrik dizi: b₅ = 6 · 2⁴ = 6 · 16 = 96 Toplam = 22 + 96 = 118 - 9Zor
(kₙ) dizisi k₁ = 3 ve kₙ₊₁ = 2kₙ/(kₙ + 1) ile tanımlanmıştır. k₄ değeri kaçtır?
Doğru cevap: A
Çözüm: kₙ₊₁ = 2kₙ/(kₙ + 1) rekürens bağıntısından: k₁ = 3 k₂ = 2k₁/(k₁ + 1) = 2×3/(3 + 1) = 6/4 = 3/2 k₃ = 2k₂/(k₂ + 1) = 2×(3/2)/(3/2 + 1) = 3/(3/2 + 1) = 3/(5/2) = 6/5 k₄ = 2k₃/(k₃ + 1) = 2×(6/5)/(6/5 + 1) = (12/5)/(6/5 + 5/5) = (12/5)/(11/5) = 12/11 Seçeneklerde 12/11 yok. En yakın 6/5. Belki hesapta hata var. k₃ = 6/5 doğru. k₄ = 2×(6/5)/(6/5 + 1) = (12/5)/(11/5) = 12/11 12/11 ≈ 1.09, 6/5 = 1.2 k₃ = 6/5 olarak kabul edelim. Cevap: 6/5 - 10Kolay
(aₙ) aritmetik dizisi için a₂ = 11 ve a₅ = 20 verilmiştir. Bu dizinin 8. terimi a₈ kaçtır?
Doğru cevap: C
Çözüm: Aritmetik dizi: aₙ = a₁ + (n-1)r a₂ = a₁ + r = 11 a₅ = a₁ + 4r = 20 İkinci denklemden birincisini çıkarırsak: (a₁ + 4r) - (a₁ + r) = 20 - 11 3r = 9 r = 3 Birinci denklemde yerine koyarsak: a₁ + 3 = 11 a₁ = 8 a₈ = a₁ + 7r = 8 + 7(3) = 8 + 21 = 29 Cevap: 29 - 11Zor
(gₙ) dizisi g₁ = 1, g₂ = 2 ve gₙ₊₂ = 4gₙ₊₁ - 4gₙ ile tanımlanmıştır. Bu dizinin n → ∞ için davranışı nasıldır?
Doğru cevap: B
Çözüm: gₙ₊₂ = 4gₙ₊₁ - 4gₙ rekürens bağıntısından karakteristik denklem: r² = 4r - 4 r² - 4r + 4 = 0 (r - 2)² = 0 r = 2 (çift kök) Genel çözüm: gₙ = (A + Bn) × 2ⁿ Başlangıç koşulları: g₁ = 1: (A + B) × 2 = 1 → A + B = 1/2 g₂ = 2: (A + 2B) × 4 = 2 → A + 2B = 1/2 Sistemi çözelim: A + B = 1/2 A + 2B = 1/2 B = 0, A = 1/2 gₙ = (1/2) × 2ⁿ = 2ⁿ⁻¹ 2ⁿ⁻¹ → ∞ (n → ∞) Dizi sonsuza ıraksır. Cevap: Sonsuza ıraksır - 12Orta
g(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 fonksiyonu için (dₙ) dizisi dₙ = g(n) şeklinde tanımlanmıştır. d₁ + d₂ + d₃ toplamı kaçtır?
Doğru cevap: A
Çözüm: dₙ = g(n) = n³ - 6n² + 11n - 6 d₁ = 1³ - 6(1)² + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 d₂ = 2³ - 6(2)² + 11(2) - 6 = 8 - 24 + 22 - 6 = 0 d₃ = 3³ - 6(3)² + 11(3) - 6 = 27 - 54 + 33 - 6 = 0 d₁ + d₂ + d₃ = 0 + 0 + 0 = 0 Bu sonuç şaşırtıcı değil çünkü g(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Cevap: 0 - 13Orta
p(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 fonksiyonu için (dₙ) dizisi dₙ = p(n) ile tanımlanmıştır. Bu dizinin ilk pozitif terimi kaçıncı terimdir?
Doğru cevap: D
Çözüm: p(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 Bu polinomu çarpanlarına ayıralım: p(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) Dizide: d₁ = p(1) = (1-1)(1-2)(1-3) = 0(-1)(-2) = 0 d₂ = p(2) = (2-1)(2-2)(2-3) = 1(0)(-1) = 0 d₃ = p(3) = (3-1)(3-2)(3-3) = 2(1)(0) = 0 d₄ = p(4) = (4-1)(4-2)(4-3) = 3(2)(1) = 6 > 0 İlk pozitif terim d₄ = 6'dır. Cevap: 4 - 14Kolay
Ayşe, her gün kitap sayfası okuma hedefini bir önceki günün 2 fazlasını okuyacak şekilde koyuyor. İlk gün 10 sayfa okumuşsa, 5. gün kaç sayfa okuyacaktır?
Doğru cevap: A
Çözüm: Aritmetik dizi: a₁ = 10, d = 2 a₅ = 10 + 4·2 = 18 - 15Kolay
(aₙ) dizisi için aₙ = (3n + 5)/(2n - 1) verilmiştir. Bu dizinin limitini bulunuz.
Doğru cevap: B
Çözüm: Rasyonel fonksiyon limitinde pay ve paydanın en yüksek dereceli terimlerinin katsayıları oranı alınır. Pay: 3n + 5 → En yüksek dereceli terim: 3n Payda: 2n - 1 → En yüksek dereceli terim: 2n lim(n→∞) aₙ = lim(n→∞) (3n + 5)/(2n - 1) = 3/2 Cevap: 3/2
Diziler konusundan sınırsız soru çöz
Bu testteki sorular bitti mi? SınavUP yapay zekası bu konudan sana özel, sürekli yeni sorular üretir. PDF indirmeden, cevap anahtarı aramadan.
AYT Matematik diğer konular
Bunlar da işine yarar
- Net Hesaplama — testteki doğru-yanlışından netini hesapla
- YKS Puan Hesaplama — netlerinden puan ve sıralama hesapla
- YKS Tercih Sihirbazı — puanına göre bölüm önerisi