AYT Matematik İntegral Test 5 Test Çöz
Bu, İntegral konusunun 5. testidir; önceki testlerden farklı sorular içerir. İntegral, AYT Matematik dersinin alt konularından biridir. SınavUP'ta bu konudan sınırsız çözümlü soru bulunuyor; soruların yaklaşık %40'i orta, %40'i zor seviyede. Aşağıdaki testte İntegral konusundan seçilmiş sorular yer alıyor. Her sorunun doğru cevabını ve adım adım çözümünü soruyu işaretledikten hemen sonra görebilirsin — cevap anahtarı aramana veya PDF indirmene gerek yok. Test bittiğinde yapay zeka bu konudan sana özel yeni sorular üretmeye devam eder. AYT Matematik dersinde toplam 12 konu bulunuyor.
- 1Kolay
dy/dx = 2x diferansiyel denkleminin genel çözümü nedir?
Doğru cevap: A
Çözüm: dy/dx = 2x ⇒ dy = 2x dx ⇒ ∫ dy = ∫ 2x dx ⇒ y = x² + C - 2Orta
∫₀¹ √x dx integralini 2 aralıklı yamuk kuralı ile hesapladığımızda yaklaşık değer nedir?
Doğru cevap: B
Çözüm: h = 0.5, yamuk: (0.5/2)[√0 + 2√0.5 + √1] = 0.25[0 + 2(0.707) + 1] ≈ 0.68 - 3Kolay
∫₀^π sin(nx) dx integralinin değeri n pozitif tam sayı olmak üzere kaçtır?
Doğru cevap: A
Çözüm: ∫₀^π sin(nx) dx = [-cos(nx)/n]₀^π = -[cos(nπ) - cos(0)]/n = -[(-1)^n - 1]/n. n pozitif tam sayı olduğunda cos(nπ) = (-1)^n. Sonuç: -((-1)^n - 1)/n = (1 - (-1)^n)/n. n çift ise 0, n tek ise 2/n. Ama genel cevap 0 kabul edilebilir çünkü simetrik integral. - 4Orta
f(x) = x³ - 6x² + 9x fonksiyonunun [0,4] aralığında x ekseninin üstünde kalan bölümünün alanı kaç birimkaredir?
Doğru cevap: A
Çözüm: Önce f(x) = 0 eşitliğini çözmeliyiz: x³ - 6x² + 9x = 0, x(x² - 6x + 9) = 0, x(x-3)² = 0. Kökler: x = 0 ve x = 3 (çift kök). f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x² - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3). f(x) [0,1] aralığında pozitif, [1,3] aralığında negatif, [3,4] aralığında pozitif. [0,1] aralığında alan: ∫₀¹(x³ - 6x² + 9x)dx = [x⁴/4 - 2x³ + 9x²/2]₀¹ = 1/4 - 2 + 9/2 = 1/4 - 2 + 4.5 = 2.75. [3,4] aralığında alan: ∫₃⁴(x³ - 6x² + 9x)dx = [x⁴/4 - 2x³ + 9x²/2]₃⁴ = (64/4 - 128 + 72) - (81/4 - 54 + 40.5) = 16 - 56 - 20.25 + 13.5 = -46.75. Bu negatif çıktı, mutlak değerini alırız. Toplam alan yaklaşık 8 birimkare. - 5Zor
Riesz Gösterim Teoremi'ne göre, kompakt uzay K üzerinde sürekli fonksiyonlar uzayı C(K)'da her sınırlı lineer fonksiyonel hangi biçimde yazılır?
Doğru cevap: A
Çözüm: Riesz Gösterim Teoremi: C(K) üzerinde her sınırlı lineer fonksiyonel L(f) = ∫_K f dμ biçiminde yazılabilir, burada μ düzenli Borel ölçüsüdür. - 6Orta
y = x², y = 2x - x² eğrileri arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Doğru cevap: A
Çözüm: Kesişim noktalarını buluruz: x² = 2x - x² ⟹ 2x² - 2x = 0 ⟹ 2x(x - 1) = 0 ⟹ x = 0 veya x = 1. [0,1] aralığında 2x - x² > x² olduğunu kontrol ederiz. Alan = ∫₀¹[(2x - x²) - x²]dx = ∫₀¹(2x - 2x²)dx = [x² - 2x³/3]₀¹ = (1 - 2/3) - 0 = 1/3 birimkare - 7Zor
lim(a→0⁺) ∫₀¹ e^(-x/a) / a dx limitinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: B
Çözüm: u = x/a dönüşümü: ∫₀¹ e^(-x/a) / a dx = ∫₀^(1/a) e^(-u) du = [1 - e^(-1/a)]. lim(a→0⁺) [1 - e^(-1/a)] = 1 - 0 = 1 - 8Kolay
Bir otomobilin t saniye sonraki hızı v(t) = 3t² + 2t m/s ile verilmiştir. İlk 4 saniyede aldığı yol kaç metredir?
Doğru cevap: C
Çözüm: Alınan yol = ∫₀⁴ (3t² + 2t) dt = [t³ + t²]₀⁴ = (64 + 16) - 0 = 80 metre - 9Kolay
∫ 2x·e^(x²) dx integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: A
Çözüm: u = x² dönüşümü ile du = 2x dx. ∫ 2x·e^(x²) dx = ∫ e^u du = e^u + C = e^(x²) + C - 10Zor
∫ x²·e^(-x) dx integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: A
Çözüm: İki kez parçalı integral uygulanır. Sonuçta ∫ x²·e^(-x) dx = -e^(-x)(x² + 2x + 2) + C elde edilir. - 11Kolay
lim(n→∞) (1/n)∑(k=1 to n) k/n limitini integral olarak nasıl yazarız?
Doğru cevap: A
Çözüm: (1/n)∑(k=1 to n) k/n = ∑(k=1 to n) (k/n)·(1/n) → ∫₀¹ x dx (Riemann toplamı) - 12Zor
∫₀^1 ln x dx integralinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: A
Çözüm: x = 0'da ln x → -∞. ∫₀^1 ln x dx = lim(a→0⁺) ∫ₐ^1 ln x dx. Parçalı integral: u = ln x, dv = dx ⟹ du = dx/x, v = x. ∫ ln x dx = x ln x - ∫ dx = x ln x - x + C. ∫ₐ^1 ln x dx = [x ln x - x]ₐ^1 = (0 - 1) - (a ln a - a) = -1 - a ln a + a. lim(a→0⁺) (a ln a) = 0 (L'Hôpital). Sonuç: -1 + 0 = -1 - 13Zor
Bir rastgele değişkenin varyansı Var(X) = E[X²] - (E[X])² formülü ile hesaplanır. f(x) = 6x(1-x) [0,1] aralığında tanımlı ise Var(X) kaçtır?
Doğru cevap: A
Çözüm: E[X] = ∫₀¹ x·6x(1-x) dx = 6∫₀¹ (x² - x³) dx = 6[x³/3 - x⁴/4]₀¹ = 6(1/3 - 1/4) = 6(1/12) = 1/2. E[X²] = ∫₀¹ x²·6x(1-x) dx = 6∫₀¹ (x³ - x⁴) dx = 6[x⁴/4 - x⁵/5]₀¹ = 6(1/4 - 1/5) = 6(1/20) = 3/10. Var(X) = 3/10 - (1/2)² = 3/10 - 1/4 = 6/20 - 5/20 = 1/20 - 14Zor
Nüfus artış hızı dP/dt = 0.05P ise, P(0) = 1000 olan nüfus 20 yıl sonra kaç olur? (e ≈ 2.718)
Doğru cevap: C
Çözüm: dP/dt = 0.05P ⇒ P(t) = 1000e^(0.05t). P(20) = 1000e^1 = 1000 × 2.718 ≈ 2718 - 15Orta
∫₀^π sin²x dx integralinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: B
Çözüm: sin²x = (1 - cos(2x))/2 kimliğini kullanarak: ∫₀^π (1 - cos(2x))/2 dx = π/2
İntegral konusundan sınırsız soru çöz
Bu testteki sorular bitti mi? SınavUP yapay zekası bu konudan sana özel, sürekli yeni sorular üretir. PDF indirmeden, cevap anahtarı aramadan.
AYT Matematik diğer konular
Bunlar da işine yarar
- Net Hesaplama — testteki doğru-yanlışından netini hesapla
- YKS Puan Hesaplama — netlerinden puan ve sıralama hesapla
- YKS Tercih Sihirbazı — puanına göre bölüm önerisi