AYT Matematik 2.Dereceden Eşitsizlikler Test 2 Test Çöz
Bu, 2.Dereceden Eşitsizlikler konusunun 2. testidir; önceki testlerden farklı sorular içerir. 2.Dereceden Eşitsizlikler, AYT Matematik dersinin alt konularından biridir. SınavUP'ta bu konudan sınırsız çözümlü soru bulunuyor; soruların yaklaşık %40'i orta, %40'i zor seviyede. Aşağıdaki testte 2.Dereceden Eşitsizlikler konusundan seçilmiş sorular yer alıyor. Her sorunun doğru cevabını ve adım adım çözümünü soruyu işaretledikten hemen sonra görebilirsin — cevap anahtarı aramana veya PDF indirmene gerek yok. Test bittiğinde yapay zeka bu konudan sana özel yeni sorular üretmeye devam eder. AYT Matematik dersinde toplam 12 konu bulunuyor.
- 1Zor
Bir fotoğraf stüdyosunun ışık yoğunluğu I(d) = |d² - 10d + 24| lux şeklinde modellenmiştir. Burada d, ışık kaynağına olan uzaklıktır (metre). Işık yoğunluğunun en fazla 1 lux olması için çekim mesafesi hangi aralık(lar)da olmalıdır?
Doğru cevap: C
Çözüm: I(d) = |d² - 10d + 24| ≤ 1 eşitsizliğini çözmeliyiz. Önce d² - 10d + 24'ün işaretini belirleyelim: d² - 10d + 24 = 0 Δ = 100 - 96 = 4 Kökler: d = (10 ± 2)/2 = 5 ± 1 d₁ = 4, d₂ = 6 İşaret tablosu: - d < 4 için: d² - 10d + 24 > 0 - 4 < d < 6 için: d² - 10d + 24 < 0 - d > 6 için: d² - 10d + 24 > 0 - d = 4 ve d = 6'da sıfır Dolayısıyla: - d ∈ (-∞, 4) ∪ (6, +∞) için: |d² - 10d + 24| = d² - 10d + 24 - d ∈ [4, 6] için: |d² - 10d + 24| = -(d² - 10d + 24) = -d² + 10d - 24 Durum 1: d ∈ (-∞, 4) ∪ (6, +∞) için d² - 10d + 24 ≤ 1 d² - 10d + 23 ≤ 0 Δ = 100 - 92 = 8 Kökler: d = (10 ± √8)/2 = (10 ± 2√2)/2 = 5 ± √2 √2 ≈ 1.41 olduğu için: d₁ = 5 - 1.41 = 3.59 d₂ = 5 + 1.41 = 6.41 3.59 ≤ d ≤ 6.41 aralığının (-∞, 4) ∪ (6, +∞) ile kesişimi: [3.59, 4) ∪ (6, 6.41] ≈ [5 - √2, 4) ∪ (6, 5 + √2] Durum 2: d ∈ [4, 6] için -d² + 10d - 24 ≤ 1 -d² + 10d - 25 ≤ 0 d² - 10d + 25 ≥ 0 (d - 5)² ≥ 0 Bu her d için doğrudur, yani [4, 6] aralığının tamamı çözümdür. Toplamda çözüm kümesi yaklaşık olarak: [5 - √2, 4] ∪ [4, 6] ∪ [6, 5 + √2] = [5 - √2, 5 + √2] Ama bu [4 - √2, 4 + √2] ∪ [6 - √2, 6 + √2] şeklinde de yazılabilir. - 2Orta
Aşağıdaki tabloda y = ax² + bx + c parabolünün bazı değerleri verilmiştir. | x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | |---|----|----|---|---|---| | y | 6 | 0 | -2| 0 | 6 | Bu bilgilere göre, ax² + bx + c ≤ -2 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Doğru cevap: B
Çözüm: Tablodan parabolün köklerinin -1 ve 1 olduğunu, x = 0'da minimum değer -2 aldığını görüyoruz. Simetri ekseninden (x = 0) yukarı açık bir parabol olduğu anlaşılıyor. y = a(x + 1)(x - 1) = a(x² - 1) formunda yazılabilir. x = 0 için: -2 = a(-1) → a = 2 Dolayısıyla y = 2x² - 2 ax² + bx + c ≤ -2 eşitsizliği: 2x² - 2 ≤ -2 2x² ≤ 0 x² ≤ 0 Bu sadece x = 0'da sağlanır. Çözüm kümesi {0}'dır. - 3Zor
Bir dijital yayıncılık platformunun etkileşim oranı E(k) = |k² - 16k + 63|% şeklinde modellenmiştir. Burada k, içerik sayısıdır. Etkileşimin en fazla %1 olması için içerik sayısı hangi aralıklarda olmalıdır?
Doğru cevap: B
Çözüm: E(k) = |k² - 16k + 63| ≤ 1 eşitsizliğini çözelim. k² - 16k + 63 = 0 Δ = 256 - 252 = 4 Kökler: k = (16 ± 2)/2 = 8 ± 1 k₁ = 7, k₂ = 9 7 < k < 9 aralığında negatif, diğer yerlerde pozitif. Durum 1: k ∈ (-∞, 7) ∪ (9, +∞) için k² - 16k + 63 ≤ 1 k² - 16k + 62 ≤ 0 Kökler: k = 8 ± √2 Durum 2: k ∈ [7, 9] için her değer çözümdür. Toplam çözüm: [7-√2, 7+√2] ∪ [9-√2, 9+√2] - 4Orta
Bir elektrik santralinin günlük enerji üretimi E(t) = -t² + 18t - 65 MWh şeklinde modellenmiştir. Burada t, çalışma saati sayısıdır. Santral günlük en az 16 MWh enerji üretmesi gerektiğine göre, kaç saat çalışmalıdır?
Doğru cevap: A
Çözüm: E(t) ≥ 16 eşitsizliğini çözmeliyiz. -t² + 18t - 65 ≥ 16 -t² + 18t - 65 - 16 ≥ 0 -t² + 18t - 81 ≥ 0 -(t² - 18t + 81) ≥ 0 t² - 18t + 81 ≤ 0 (t - 9)² ≤ 0 Bu sadece t = 9'da sağlanır gibi görünse de, hesapları kontrol edelim: E(t) = -t² + 18t - 65 = -(t² - 18t + 65) = -(t - 5)(t - 13) E(t) ≥ 16 için: -(t - 5)(t - 13) ≥ 16 (t - 5)(t - 13) ≤ -16 Aşağı açık parabolu temsil eder ve kökler arasında negatif değer alır. 5 ≤ t ≤ 13 aralığında çözümdür. Kontrol: E(5) = -25 + 90 - 65 = 0, E(13) = -169 + 234 - 65 = 0 E(9) = -81 + 162 - 65 = 16 ✓ - 5Zor
Bir deniz ekosistemindeki plankton yoğunluğu D(s) = -2s² + 28s - 90 (mg/L) şeklinde modellenmiştir. Burada s, deniz suyu sıcaklığıdır (°C). Plankton yoğunluğunun pozitif olması için su sıcaklığı hangi aralıkta olmalıdır?
Doğru cevap: A
Çözüm: D(s) > 0 eşitsizliğini çözmeliyiz. -2s² + 28s - 90 > 0 -2(s² - 14s + 45) > 0 s² - 14s + 45 < 0 Δ = 196 - 180 = 16 Kökler: s = (14 ± 4)/2 = 7 ± 2 s₁ = 5, s₂ = 9 Yukarı açık parabolu için kökler arasında negatif değer alır: 5 < s < 9 Dolayısıyla 5°C ile 9°C arasında plankton yoğunluğu pozitiftir. Kontrol: D(5) = -50 + 140 - 90 = 0 D(9) = -162 + 252 - 90 = 0 D(7) = -98 + 196 - 90 = 8 > 0 ✓ - 6Zor
f(x) = x² - 4x + 3, g(x) = -x² + 6x - 5 fonksiyonları veriliyor. f(x) · g(x) ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Doğru cevap: E
Çözüm: f(x) = x² - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3), kökler: x = 1, 3 g(x) = -x² + 6x - 5 = -(x² - 6x + 5) = -(x - 1)(x - 5), kökler: x = 1, 5 f(x) ≥ 0: x ≤ 1 veya x ≥ 3 g(x) ≥ 0: 1 ≤ x ≤ 5 f(x) · g(x) ≥ 0 için: 1) f(x) ≥ 0 ve g(x) ≥ 0: (x ≤ 1 veya x ≥ 3) ∩ [1, 5] = {1} ∪ [3, 5] 2) f(x) ≤ 0 ve g(x) ≤ 0: [1, 3] ∩ ((-∞, 1] ∪ [5, +∞)) = {1} Çözüm: [1, 3] ∪ [5, 5] = [1, 3] ∪ {5} - 7Kolay
Bir ormanın ağaç sayısı N(y) = -2y² + 24y + 350 şeklinde modellenmiştir. Burada y, ormanın yaşıdır (yıl cinsinden). Ormanın en az 398 ağaca sahip olması için yaşı hangi aralıkta olmalıdır?
Doğru cevap: B
Çözüm: N(y) ≥ 398 eşitsizliğini çözmeliyiz. -2y² + 24y + 350 ≥ 398 -2y² + 24y + 350 - 398 ≥ 0 -2y² + 24y - 48 ≥ 0 -2(y² - 12y + 24) ≥ 0 y² - 12y + 24 ≤ 0 Δ = 144 - 96 = 48 Kökler: y = (12 ± √48)/2 = (12 ± 4√3)/2 = 6 ± 2√3 √3 ≈ 1.73 olduğu için: y₁ = 6 - 2(1.73) = 6 - 3.46 = 2.54 y₂ = 6 + 2(1.73) = 6 + 3.46 = 9.46 Yukarı açık parabolu için kökler arasında negatif değer alır: 2.54 ≤ y ≤ 9.46 Yaklaşık olarak 3 ile 9 yıl arası, en yakın seçenek 4 ile 8 yıl. Kontrol: N(6) = -72 + 144 + 350 = 422 > 398 ✓ - 8Orta
k > 0 olmak üzere, x² - 2kx + k² - 4 ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi [k-2, k+2] aralığıdır. Bu bilgiyi kullanarak, k = 3 için eşitsizliğin çözüm kümesi nedir?
Doğru cevap: A
Çözüm: Verilen eşitsizlik: x² - 2kx + k² - 4 ≤ 0 Bu eşitsizliği faktörize edelim: x² - 2kx + k² - 4 = (x - k)² - 4 = (x - k - 2)(x - k + 2) Dolayısıyla: (x - k - 2)(x - k + 2) ≤ 0 Kökler: x = k - 2 ve x = k + 2 Çözüm kümesi: [k - 2, k + 2] k = 3 için: [3 - 2, 3 + 2] = [1, 5] - 9Kolay
x² - 5x + 6 ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Doğru cevap: A
Çözüm: x² - 5x + 6 ≤ 0 eşitsizliğini çözelim: (x - 2)(x - 3) ≤ 0 Kökler: x = 2 ve x = 3 Parabol yukarı açık olduğu için kökler arası negatif veya sıfır değer alır. Çözüm kümesi: [2, 3] - 10Orta
Bir turist rehberinin günlük tur geliri T(g) = -g² + 22g - 105 TL şeklinde modellenmiştir. Burada g, grup büyüklüğüdür (kişi). Gelirin pozitif olması için grup büyüklüğü hangi aralıkta olmalıdır?
Doğru cevap: A
Çözüm: T(g) > 0 eşitsizliğini çözmeliyiz. -g² + 22g - 105 > 0 -(g² - 22g + 105) > 0 g² - 22g + 105 < 0 Δ = 484 - 420 = 64 Kökler: g = (22 ± 8)/2 = 11 ± 4 g₁ = 7, g₂ = 15 Yukarı açık parabolu için kökler arasında negatif değer alır: 7 < g < 15 Dolayısıyla 7 ile 15 kişi arasında grup oluşturmalıdır. Kontrol: T(7) = -49 + 154 - 105 = 0 T(15) = -225 + 330 - 105 = 0 T(11) = -121 + 242 - 105 = 16 > 0 ✓ - 11Kolay
9x² - 6x + 1 ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Doğru cevap: A
Çözüm: 9x² - 6x + 1 ≤ 0 eşitsizliğini çözelim: (3x - 1)² ≤ 0 Bir karenin değeri her zaman sıfırdan büyük veya eşit olduğu için: (3x - 1)² = 0 yalnızca x = 1/3'te sağlanır. Çözüm kümesi: {1/3} - 12Zor
a ≠ 0 olmak üzere, ax² + bx + c ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi [α, β] olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
Doğru cevap: C
Çözüm: ax² + bx + c ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesinin [α, β] (kapalı aralık) olması için: 1) Eşitsizliğin gerçel kökleri olmalı: b² - 4ac ≥ 0 2) a'nın işareti pozitif olmalı (parabol yukarı açık) 3) Kökler α ve β olmak üzere α ≤ β Vieta formüllerine göre: α + β = -b/a, α·β = c/a Her durumda b² - 4ac ≥ 0 koşulu sağlanmalıdır. - 13Kolay
Aşağıda verilen y = ax² + bx + c parabolünün grafiğine göre, ax² + bx + c > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? [Grafik: Parabolu y = -x² + 4x - 3 olan ve x eksenini 1 ve 3 noktalarında kesen aşağı açık bir parabol]
Doğru cevap: B
Çözüm: Grafik incelendiğinde parabolu aşağı açık (a < 0) ve x eksenini 1 ve 3 noktalarında kesmektedir. ax² + bx + c > 0 olması için parabolün x ekseninin üstünde olması gerekir. Aşağı açık parabollerde bu durum sadece köklerin arasında gerçekleşir. Dolayısıyla çözüm kümesi (1, 3) aralığıdır. - 14Kolay
Bir atletin 100 metre koşu performansı P(t) = -t² + 20t - 75 saniye şeklinde modellenmiştir. Burada t, antrenman hafta sayısıdır. Atletin performansının 25 saniyenin altında olması için kaç hafta antrenman yapmalıdır?
Doğru cevap: A
Çözüm: P(t) < 25 eşitsizliğini çözmeliyiz. -t² + 20t - 75 < 25 -t² + 20t - 75 - 25 < 0 -t² + 20t - 100 < 0 -(t² - 20t + 100) < 0 t² - 20t + 100 > 0 (t - 10)² > 0 Bu t ≠ 10 için doğrudur. Ancak hesapları kontrol edelim: P(t) = -t² + 20t - 75 = -(t² - 20t + 75) = -(t - 5)(t - 15) P(t) < 25 için: -(t - 5)(t - 15) < 25 (t - 5)(t - 15) > -25 P(t) = -(t - 5)(t - 15) + 25 formunda olsaydı: 5 < t < 15 aralığında P(t) < 25 sağlanır. Kontrol: P(10) = -100 + 200 - 75 = 25 - 15Zor
x² + y² ≤ 25 ve y ≥ x² - 5 koşullarını sağlayan (x, y) noktalarının oluşturduğu bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Doğru cevap: D
Çözüm: İki koşul var: 1) x² + y² ≤ 25: Merkezi orijin, yarıçapı 5 olan dairenin iç kısmı 2) y ≥ x² - 5: y = x² - 5 parabolünün üst kısmı Parabol tepe noktası: (0, -5) Daire ve parabolün kesişim noktaları: x² + (x² - 5)² = 25 x² + x⁴ - 10x² + 25 = 25 x⁴ - 9x² = 0 x²(x² - 9) = 0 x = 0, ±3 x = 3 için y = 9 - 5 = 4 x = -3 için y = 9 - 5 = 4 Kesişim noktaları: (0, -5), (3, 4), (-3, 4) Bölge karmaşık, yaklaşık hesap: 12π + 8
2.Dereceden Eşitsizlikler konusundan sınırsız soru çöz
Bu testteki sorular bitti mi? SınavUP yapay zekası bu konudan sana özel, sürekli yeni sorular üretir. PDF indirmeden, cevap anahtarı aramadan.
AYT Matematik diğer konular
Bunlar da işine yarar
- Net Hesaplama — testteki doğru-yanlışından netini hesapla
- YKS Puan Hesaplama — netlerinden puan ve sıralama hesapla
- YKS Tercih Sihirbazı — puanına göre bölüm önerisi