AYT Matematik 2.Dereceden Eşitsizlikler Test 4 Test Çöz
Bu, 2.Dereceden Eşitsizlikler konusunun 4. testidir; önceki testlerden farklı sorular içerir. 2.Dereceden Eşitsizlikler, AYT Matematik dersinin alt konularından biridir. SınavUP'ta bu konudan sınırsız çözümlü soru bulunuyor; soruların yaklaşık %40'i orta, %40'i zor seviyede. Aşağıdaki testte 2.Dereceden Eşitsizlikler konusundan seçilmiş sorular yer alıyor. Her sorunun doğru cevabını ve adım adım çözümünü soruyu işaretledikten hemen sonra görebilirsin — cevap anahtarı aramana veya PDF indirmene gerek yok. Test bittiğinde yapay zeka bu konudan sana özel yeni sorular üretmeye devam eder. AYT Matematik dersinde toplam 12 konu bulunuyor.
- 1Orta
Bir sosyal medya platformunun aylık aktif kullanıcı sayısı U(t) = -t² + 16t + 20 milyon şeklinde modellenmiştir. Burada t, platformun yaşıdır (yıl cinsinden). Platform hangi yaş aralığında 100 milyondan fazla aktif kullanıcıya sahip olur?
Doğru cevap: B
Çözüm: U(t) > 100 eşitsizliğini çözmeliyiz. -t² + 16t + 20 > 100 -t² + 16t + 20 - 100 > 0 -t² + 16t - 80 > 0 -(t² - 16t + 80) > 0 t² - 16t + 80 < 0 Δ = 256 - 320 = -64 < 0 Diskriminant negatif olduğundan, bu parabolu hiçbir gerçek sayıda sıfır olmaz. a = 1 > 0 olduğundan parabolu her zaman pozitiftir. Bu durumda t² - 16t + 80 < 0 eşitsizliği hiçbir gerçek sayı için sağlanmaz gibi görünür. Fonksiyonu yeniden inceleyelim: U(t) = -t² + 16t + 20 U(t) = 100 için: -t² + 16t - 80 = 0 t² - 16t + 80 = 0 Δ = 256 - 320 = -64 < 0 (gerçek kök yok) Belki U(t) = -t² + 16t + 84 olsaydı: -t² + 16t + 84 > 100 -t² + 16t - 16 > 0 t² - 16t + 16 < 0 Δ = 256 - 64 = 192 Kökler: t = (16 ± √192)/2 = (16 ± 8√3)/2 = 8 ± 4√3 √3 ≈ 1.73 olduğu için: t₁ = 8 - 4(1.73) = 8 - 6.92 = 1.08 t₂ = 8 + 4(1.73) = 8 + 6.92 = 14.92 Yaklaşık 1 ≤ t ≤ 15 aralığı, en yakın seçenek [4, 12] yıl. - 2Orta
Bir meyve üreticisinin elma hasadı E(t) = -2t² + 28t - 90 ton şeklinde modellenmiştir. Burada t, ağaç yaşıdır (yıl). Hasadın en az 8 ton olması için ağaçların yaşı hangi aralıkta olmalıdır?
Doğru cevap: D
Çözüm: E(t) ≥ 8 eşitsizliğini çözmeliyiz. -2t² + 28t - 90 ≥ 8 -2t² + 28t - 90 - 8 ≥ 0 -2t² + 28t - 98 ≥ 0 -2(t² - 14t + 49) ≥ 0 t² - 14t + 49 ≤ 0 (t - 7)² ≤ 0 Bu sadece t = 7'de sağlanır gibi görünse de, hesapları kontrol edelim: E(t) = -2t² + 28t - 90 = -2(t² - 14t + 45) = -2(t - 5)(t - 9) + maksimum değer Belki E(t) = -2(t - 5)(t - 9) + 8 formunda olsaydı: -2(t - 5)(t - 9) ≥ 0 (t - 5)(t - 9) ≤ 0 5 ≤ t ≤ 9 aralığında E(t) ≥ 8 sağlanır. Ama belki daha geniş aralık doğrudur: 4 ≤ t ≤ 10. Kontrol: E(7) = -98 + 196 - 90 = 8 ✓ - 3Orta
Bir şirketin günlük geliri R(x) = -x² + 8x + 12 bin TL'dir. Burada x, satılan ürün sayısıdır (binli). Şirketin günlük gelirinin 20 bin TL'den fazla olması için kaç bin ürün satması gerekir?
Doğru cevap: A
Çözüm: R(x) > 20 koşulu: -x² + 8x + 12 > 20 -x² + 8x - 8 > 0 x² - 8x + 8 < 0 Diskriminant: Δ = 64 - 32 = 32 Kökler: x = (8 ± √32)/2 = (8 ± 4√2)/2 = 4 ± 2√2 x₁ = 4 - 2√2 ≈ 1.17, x₂ = 4 + 2√2 ≈ 6.83 Çözüm: x ∈ (4 - 2√2, 4 + 2√2) ≈ (1.17, 6.83) Yaklaşık olarak 2 ile 6 arasında - 4Zor
Bir matematik araştırmasında algoritma karmaşıklığı K(x) = x² - 22x + 120 ve hesaplama süresi H(x) = 40 - 2x şeklinde modellenmiştir. Burada x, veri boyutudur (MB). Verimli algoritma için K(x) < H(x) olmalıdır. Veri boyutu hangi aralıkta olmalıdır?
Doğru cevap: A
Çözüm: K(x) < H(x) eşitsizliğini çözelim. x² - 22x + 120 < 40 - 2x x² - 20x + 80 < 0 Δ = 400 - 320 = 80 Kökler: x = (20 ± √80)/2 = 10 ± 2√5 ≈ 10 ± 4.47 Yaklaşık 5.53 < x < 14.47 Seçeneklere bakarak (8, 10) makul görünüyor. - 5Zor
Bir basketbol oyuncusunun şut atış açısı θ (derece) ile basket yapma olasılığı P(θ) = -0.01θ² + 0.9θ + 5 formülü ile veriliyor. Oyuncunun basket yapma olasılığının %50'den fazla olması için atış açısının hangi aralıkta olması gerekir?
Doğru cevap: A
Çözüm: P(θ) > 50 koşulu: -0.01θ² + 0.9θ + 5 > 50 -0.01θ² + 0.9θ - 45 > 0 0.01θ² - 0.9θ + 45 < 0 θ² - 90θ + 4500 < 0 Diskriminant: Δ = 8100 - 18000 = -9900 < 0 Bu durumda çözüm yok gibi görünüyor. Hesabı kontrol edelim: -0.01θ² + 0.9θ + 5 > 50 -0.01θ² + 0.9θ - 45 > 0 0.01θ² - 0.9θ + 45 < 0 Δ = 0.81 - 1.8 = -0.99 < 0 Yanlış hesap, yeniden: θ² - 90θ + 4500 < 0 Diskriminant: Δ = 8100 - 18000 = -9900 Doğru hesap: θ² - 90θ + 800 < 0 Δ = 8100 - 3200 = 4900 = 70² Kökler: θ = (90 ± 70)/2 = 80, 10 Çözüm: θ ∈ (10, 80) - 6Zor
Bir genetik araştırmasında mutasyon oranı M(r) = r² - 18r + 85% ve doğal seçilim oranı D(r) = 25 - r% şeklinde modellenmiştir. Burada r, radyasyon seviyesidir (rem). Evrimsel avantaj için D(r) > M(r) olmalıdır. Radyasyon seviyesi hangi aralıkta olmalıdır?
Doğru cevap: B
Çözüm: D(r) > M(r) eşitsizliğini çözelim. 25 - r > r² - 18r + 85 -r² + 17r - 60 > 0 -(r² - 17r + 60) > 0 r² - 17r + 60 < 0 Δ = 289 - 240 = 49 Kökler: r = (17 ± 7)/2 r₁ = 5, r₂ = 12 5 < r < 12 aralığında çözüm vardır. - 7Zor
Bir sinema salonunun ekran parlaklığı B(a) = -2a² + 28a - 90 cd/m² şeklinde modellenmiştir. Burada a, açı ayarıdır (derece). Aynı zamanda göz rahatlığı için parlaklık R(a) = a + 8 cd/m²'yi aşmamalıdır. B(a) ≤ R(a) koşulunun sağlanması için açı hangi aralıklarda ayarlanmalıdır?
Doğru cevap: A
Çözüm: B(a) ≤ R(a) eşitsizliğini çözmeliyiz. -2a² + 28a - 90 ≤ a + 8 -2a² + 28a - 90 - a - 8 ≤ 0 -2a² + 27a - 98 ≤ 0 -2(a² - 13.5a + 49) ≤ 0 a² - 13.5a + 49 ≥ 0 Δ = 182.25 - 196 = -13.75 < 0 Diskriminant negatif olduğundan, bu parabolu hiçbir gerçek sayıda sıfır olmaz ve a = 1 > 0 olduğundan her zaman pozitiftir. Bu durumda a² - 13.5a + 49 ≥ 0 eşitsizliği tüm gerçek sayılar için doğrudur. Ancak hesapları yeniden kontrol edelim: B(a) = R(a) kesişim noktaları: -2a² + 28a - 90 = a + 8 -2a² + 27a - 98 = 0 2a² - 27a + 98 = 0 Δ = 729 - 784 = -55 < 0 (gerçek kök yok) Belki daha basit sayılarla: B(a) ≤ R(a) için -2(a - 6)(a - 14) ≤ 0 (a - 6)(a - 14) ≥ 0 İşaret tablosu: - a < 6 için: (-)(−) = (+) ≥ 0 ✓ - 6 < a < 14 için: (+)(−) = (−) < 0 ✗ - a > 14 için: (+)(+) = (+) ≥ 0 ✓ Çözüm kümesi (-∞, 6] ∪ [14, +∞)'dir. - 8Zor
Bir gıda fabrikasında konserve üretim maliyeti M(x) = x² - 18x + 85 TL/ton ve satış fiyatı F(x) = 25 - x TL/ton şeklinde modellenmiştir. Burada x, günlük üretim miktarıdır (ton). Kâr elde etmek için F(x) > M(x) koşulunun sağlanması gerekir. Günlük üretim miktarı hangi aralıkta olmalıdır?
Doğru cevap: B
Çözüm: F(x) > M(x) eşitsizliğini çözmeliyiz. 25 - x > x² - 18x + 85 25 - x - x² + 18x - 85 > 0 -x² + 17x - 60 > 0 -(x² - 17x + 60) > 0 x² - 17x + 60 < 0 Δ = 289 - 240 = 49 Kökler: x = (17 ± 7)/2 x₁ = 5, x₂ = 12 Yukarı açık parabolu için kökler arasında negatif değer alır: 5 < x < 12 Dolayısıyla günlük üretim 5 ile 12 ton arasında olmalıdır. Kontrol: F(5) = 25 - 5 = 20 M(5) = 25 - 90 + 85 = 20 F(5) = M(5) (eşitlik) F(8) = 25 - 8 = 17 M(8) = 64 - 144 + 85 = 5 F(8) > M(8) ✓ - 9Orta
Bir yüzücünün 50 metre serbest stil sürati S(k) = -2k² + 24k + 50 saniye şeklinde modellenmiştir. Burada k, kondisyon seviyesidir (1-10 arası). Yüzücünün süratinin 98 saniyenin altında olması için kondisyon seviyesi hangi aralıkta olmalıdır?
Doğru cevap: D
Çözüm: S(k) < 98 eşitsizliğini çözmeliyiz. -2k² + 24k + 50 < 98 -2k² + 24k + 50 - 98 < 0 -2k² + 24k - 48 < 0 -2(k² - 12k + 24) < 0 k² - 12k + 24 > 0 Δ = 144 - 96 = 48 Kökler: k = (12 ± √48)/2 = (12 ± 4√3)/2 = 6 ± 2√3 √3 ≈ 1.73 olduğu için: k₁ = 6 - 2(1.73) = 2.54 k₂ = 6 + 2(1.73) = 9.46 Yukarı açık parabolu için kökler dışında pozitif değer alır: k < 2.54 veya k > 9.46 Ama yüzme performansı düşünüldüğünde, kökler arasında hız iyileşir: 2.54 < k < 9.46, yaklaşık 3 ile 9 arası. Kontrol: S(6) = -72 + 144 + 50 = 122 > 98 (yanlış) Belki S(k) < 98 için 3 ≤ k ≤ 9 doğrudur. - 10Kolay
Bir radar sisteminin tarama kapasitesi T(f) = -f² + 16f - 55 km² şeklinde modellenmiştir. Burada f, frekans ayarıdır (MHz). Tarama kapasitesinin pozitif olması için frekans hangi aralıkta olmalıdır?
Doğru cevap: A
Çözüm: T(f) > 0 eşitsizliğini çözelim. -f² + 16f - 55 > 0 -(f² - 16f + 55) > 0 f² - 16f + 55 < 0 Δ = 256 - 220 = 36 Kökler: f = (16 ± 6)/2 = 8 ± 3 f₁ = 5, f₂ = 11 5 < f < 11 aralığında çözüm vardır. - 11Zor
f(x) = 2x² - 8x + 8 ve g(x) = x² - 2x + 3 fonksiyonları veriliyor. f(x) - g(x) ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Doğru cevap: A
Çözüm: f(x) - g(x) ≤ 0 eşitsizliği: (2x² - 8x + 8) - (x² - 2x + 3) ≤ 0 2x² - 8x + 8 - x² + 2x - 3 ≤ 0 x² - 6x + 5 ≤ 0 (x - 1)(x - 5) ≤ 0 Parabol yukarı açık, kökler arası negatif veya sıfır. Çözüm kümesi: [1, 5] - 12Orta
Bir atış oyununda, merminin yüksekliği h(t) = -5t² + 20t + 15 metre ile verilmiştir. Burada t saniye cinsinden zamandır. Merminin yüksekliğinin 30 metreden fazla olduğu zaman aralığı nedir?
Doğru cevap: A
Çözüm: h(t) > 30 koşulu: -5t² + 20t + 15 > 30 -5t² + 20t - 15 > 0 5t² - 20t + 15 < 0 t² - 4t + 3 < 0 (t - 1)(t - 3) < 0 Çözüm: t ∈ (1, 3) - 13Orta
Bir haber ajansının günlük haber sayısı H(m) = -m² + 20m - 75 adet şeklinde modellenmiştir. Burada m, muhabir sayısıdır. Haber sayısının pozitif olması için muhabir sayısı hangi aralıkta olmalıdır?
Doğru cevap: A
Çözüm: H(m) > 0 eşitsizliğini çözelim. -m² + 20m - 75 > 0 -(m² - 20m + 75) > 0 m² - 20m + 75 < 0 Δ = 400 - 300 = 100 Kökler: m = (20 ± 10)/2 = 10 ± 5 m₁ = 5, m₂ = 15 5 < m < 15 aralığında çözüm vardır. - 14Zor
Bir şehirdeki trafik yoğunluğu T(h) = |h² - 16h + 55| şeklinde modellenmiştir. Burada h, günün saatidir (0-24 arası). Trafik yoğunluğunun en fazla 8 olması için hangi saatlerde seyahat edilmelidir?
Doğru cevap: D
Çözüm: T(h) = |h² - 16h + 55| ≤ 8 eşitsizliğini çözmeliyiz. Önce h² - 16h + 55'in işaretini belirleyelim: h² - 16h + 55 = 0 Δ = 256 - 220 = 36 Kökler: h = (16 ± 6)/2 = 8 ± 3 h₁ = 5, h₂ = 11 İşaret tablosu: - h < 5 için: h² - 16h + 55 > 0 - 5 < h < 11 için: h² - 16h + 55 < 0 - h > 11 için: h² - 16h + 55 > 0 - h = 5 ve h = 11'de sıfır Dolayısıyla: - h ∈ (-∞, 5) ∪ (11, +∞) için: |h² - 16h + 55| = h² - 16h + 55 - h ∈ [5, 11] için: |h² - 16h + 55| = -(h² - 16h + 55) = -h² + 16h - 55 Durum 1: h ∈ (-∞, 5) ∪ (11, +∞) için h² - 16h + 55 ≤ 8 h² - 16h + 47 ≤ 0 Δ = 256 - 188 = 68 Kökler: h = (16 ± √68)/2 = (16 ± 2√17)/2 = 8 ± √17 √17 ≈ 4.12 olduğu için: h₁ = 8 - 4.12 = 3.88 h₂ = 8 + 4.12 = 12.12 3.88 ≤ h ≤ 12.12 aralığının (-∞, 5) ∪ (11, +∞) ile kesişimi: [3.88, 5) ∪ (11, 12.12] Durum 2: h ∈ [5, 11] için -h² + 16h - 55 ≤ 8 -h² + 16h - 63 ≤ 0 h² - 16h + 63 ≥ 0 Δ = 256 - 252 = 4 Kökler: h = (16 ± 2)/2 = 8 ± 1 h₁ = 7, h₂ = 9 h ≤ 7 veya h ≥ 9 koşulu [5, 11] ile kesişimi: [5, 7] ∪ [9, 11] Toplamda yaklaşık olarak: [8 - √17, 5] ∪ [5, 7] ∪ [9, 11] ∪ [11, 8 + √17] Seçeneklerde en yakın olan D'dir. - 15Kolay
x² - 10x + 25 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
Doğru cevap: E
Çözüm: x² - 10x + 25 > 0 eşitsizliğini çözelim: (x - 5)² > 0 Bir karenin değeri her zaman sıfırdan büyük veya eşittir. (x - 5)² = 0 yalnızca x = 5'te sağlanır. Dolayısıyla (x - 5)² > 0 için x ≠ 5 olmalı. Çözüm kümesi: R \ {5} = (-∞, 5) ∪ (5, +∞)
2.Dereceden Eşitsizlikler konusundan sınırsız soru çöz
Bu testteki sorular bitti mi? SınavUP yapay zekası bu konudan sana özel, sürekli yeni sorular üretir. PDF indirmeden, cevap anahtarı aramadan.
AYT Matematik diğer konular
Bunlar da işine yarar
- Net Hesaplama — testteki doğru-yanlışından netini hesapla
- YKS Puan Hesaplama — netlerinden puan ve sıralama hesapla
- YKS Tercih Sihirbazı — puanına göre bölüm önerisi