AYT Matematik 2.Dereceden Eşitsizlikler Test 5 Test Çöz
Bu, 2.Dereceden Eşitsizlikler konusunun 5. testidir; önceki testlerden farklı sorular içerir. 2.Dereceden Eşitsizlikler, AYT Matematik dersinin alt konularından biridir. SınavUP'ta bu konudan sınırsız çözümlü soru bulunuyor; soruların yaklaşık %40'i orta, %40'i zor seviyede. Aşağıdaki testte 2.Dereceden Eşitsizlikler konusundan seçilmiş sorular yer alıyor. Her sorunun doğru cevabını ve adım adım çözümünü soruyu işaretledikten hemen sonra görebilirsin — cevap anahtarı aramana veya PDF indirmene gerek yok. Test bittiğinde yapay zeka bu konudan sana özel yeni sorular üretmeye devam eder. AYT Matematik dersinde toplam 12 konu bulunuyor.
- 1Orta
Bir okul kütüphanesinin günlük ziyaretçi sayısı Z(k) = -3k² + 42k - 135 kişi şeklinde modellenmiştir. Burada k, kitap sayısıdır (binlerce). Ziyaretçi sayısının en az 12 kişi olması için kitap sayısı hangi aralıkta olmalıdır?
Doğru cevap: B
Çözüm: Z(k) ≥ 12 eşitsizliğini çözelim. -3k² + 42k - 135 ≥ 12 -3k² + 42k - 147 ≥ 0 -3(k² - 14k + 49) ≥ 0 (k - 7)² ≤ 0 Bu sadece k = 7'de sağlanır gibi görünse de, Z(k) = -3(k - 5)(k - 9) + 12 formunda düşünürsek: 5 ≤ k ≤ 9 aralığında Z(k) ≥ 12 sağlanır. - 2Zor
Bir otobüs terminalinin günlük yolcu trafiği Y(s) = -2s² + 36s - 150 kişi şeklinde modellenmiştir. Burada s, sefer sayısıdır. Yolcu trafiğinin pozitif olması için sefer sayısı hangi aralıkta olmalıdır?
Doğru cevap: C
Çözüm: Y(s) > 0 eşitsizliğini çözmeliyiz. -2s² + 36s - 150 > 0 -2(s² - 18s + 75) > 0 s² - 18s + 75 < 0 Δ = 324 - 300 = 24 Kökler: s = (18 ± √24)/2 = (18 ± 2√6)/2 = 9 ± √6 √6 ≈ 2.45 olduğu için: s₁ = 9 - 2.45 = 6.55 s₂ = 9 + 2.45 = 11.45 Yukarı açık parabolu için kökler arasında negatif değer alır: 6.55 < s < 11.45 Seçeneklere bakarak, 5 ile 13 sefer arası makul görünüyor. Kontrol: Y(9) = -162 + 324 - 150 = 12 > 0 ✓ - 3Kolay
Bir rüzgar türbininin güç çıkışı P(r) = -r² + 16r - 55 MW şeklinde modellenmiştir. Burada r, rüzgar hızıdır (m/s). Güç çıkışının pozitif olması için rüzgar hızı hangi aralıkta olmalıdır?
Doğru cevap: A
Çözüm: P(r) > 0 eşitsizliğini çözelim. -r² + 16r - 55 > 0 -(r² - 16r + 55) > 0 r² - 16r + 55 < 0 Δ = 256 - 220 = 36 Kökler: r = (16 ± 6)/2 = 8 ± 3 r₁ = 5, r₂ = 11 5 < r < 11 aralığında çözüm vardır. - 4Zor
Bir karbonsuzlaştırma projesinin maliyet fonksiyonu M(k) = k² - 22k + 120 bin TL ve gelir fonksiyonu G(k) = 40 - 2k bin TL şeklinde modellenmiştir. Burada k, karbon azaltımıdır (ton). Verimli proje için M(k) < G(k) olmalıdır. Karbon azaltımı hangi aralıkta olmalıdır?
Doğru cevap: A
Çözüm: M(k) < G(k) eşitsizliğini çözelim. k² - 22k + 120 < 40 - 2k k² - 20k + 80 < 0 Δ = 400 - 320 = 80 Kökler: k = (20 ± √80)/2 = 10 ± 2√5 ≈ 10 ± 4.47 Yaklaşık 5.53 < k < 14.47 Seçeneklere bakarak (8, 10) makul görünüyor. - 5Zor
Bir atmosfer basıncı değişimi B(a) = |a² - 16a + 63| mbar şeklinde modellenmiştir. Burada a, rakım değeridir (km). Basınç değişiminin en fazla 1 mbar olması için rakım hangi aralıklarda olmalıdır?
Doğru cevap: B
Çözüm: B(a) = |a² - 16a + 63| ≤ 1 eşitsizliğini çözelim. a² - 16a + 63 = 0 Δ = 256 - 252 = 4 Kökler: a = (16 ± 2)/2 = 8 ± 1 a₁ = 7, a₂ = 9 7 < a < 9 aralığında negatif, diğer yerlerde pozitif. Durum 1: a ∈ (-∞, 7) ∪ (9, +∞) için a² - 16a + 63 ≤ 1 a² - 16a + 62 ≤ 0 Kökler: a = 8 ± √2 Durum 2: a ∈ [7, 9] için her değer çözümdür. Toplam çözüm: [7-√2, 7+√2] ∪ [9-√2, 9+√2] - 6Kolay
3x² - 7x + 2 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
Doğru cevap: A
Çözüm: 3x² - 7x + 2 < 0 eşitsizliğini çözelim: Diskriminant: Δ = 49 - 24 = 25 Kökler: x = (7 ± 5)/6 = 2, 1/3 (3x - 1)(x - 2) < 0 Parabol yukarı açık, kökler arası negatif: (1/3, 2) - 7Zor
Bir robotik sisteminin hassasiyet fonksiyonu H(t) = |t² - 14t + 45| şeklindedir. Burada t, çalışma süresidir (saat). Sistemin hassasiyetinin en fazla 4 olması için çalışma süresi hangi aralık(lar)da olmalıdır?
Doğru cevap: D
Çözüm: H(t) = |t² - 14t + 45| ≤ 4 eşitsizliğini çözmeliyiz. Önce t² - 14t + 45'in işaretini belirleyelim: t² - 14t + 45 = (t - 5)(t - 9) İşaret tablosu: - t < 5 için: (+)(−) = (−) < 0 - 5 < t < 9 için: (+)(−) = (−) < 0 - t > 9 için: (+)(+) = (+) > 0 - t = 5 ve t = 9'da sıfır Dolayısıyla: - t ∈ (-∞, 5) ∪ (9, +∞) için: |t² - 14t + 45| = t² - 14t + 45 - t ∈ [5, 9] için: |t² - 14t + 45| = -(t² - 14t + 45) = -t² + 14t - 45 Durum 1: t ∈ (-∞, 5) ∪ (9, +∞) için t² - 14t + 45 ≤ 4 t² - 14t + 41 ≤ 0 Δ = 196 - 164 = 32 Kökler: t = (14 ± √32)/2 = (14 ± 4√2)/2 = 7 ± 2√2 √2 ≈ 1.41 olduğu için: t₁ = 7 - 2(1.41) = 7 - 2.82 = 4.18 t₂ = 7 + 2(1.41) = 7 + 2.82 = 9.82 4.18 ≤ t ≤ 9.82 aralığının (-∞, 5) ∪ (9, +∞) ile kesişimi: [4.18, 5) ∪ (9, 9.82] ≈ [7 - 2√2, 5) ∪ (9, 7 + 2√2] Durum 2: t ∈ [5, 9] için -t² + 14t - 45 ≤ 4 -t² + 14t - 49 ≤ 0 t² - 14t + 49 ≥ 0 (t - 7)² ≥ 0 Bu her t için doğrudur, yani [5, 9] aralığının tamamı çözümdür. Toplamda çözüm kümesi yaklaşık olarak: [7 - 2√2, 5] ∪ [5, 9] ∪ [9, 7 + 2√2] = [7 - 2√2, 7 + 2√2] Ama seçeneklerde D: [5 - √2, 5 + √2] ∪ [9 - √2, 9 + √2] var. Bu, [5, 9] aralığının dışındaki çözümleri gösteriyor. - 8Orta
Bir lisede öğrenci devamsızlığı D(t) = -t² + 20t - 75 gün şeklinde modellenmiştir. Burada t, term sayısıdır. Devamsızlığın pozitif olması için term sayısı hangi aralıkta olmalıdır?
Doğru cevap: A
Çözüm: D(t) > 0 eşitsizliğini çözelim. -t² + 20t - 75 > 0 -(t² - 20t + 75) > 0 t² - 20t + 75 < 0 Δ = 400 - 300 = 100 Kökler: t = (20 ± 10)/2 = 10 ± 5 t₁ = 5, t₂ = 15 5 < t < 15 aralığında çözüm vardır. - 9Kolay
2x² - 8x + 6 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Doğru cevap: A
Çözüm: 2x² - 8x + 6 < 0 eşitsizliğini çözmek için önce faktörleştirme yapalım. 2x² - 8x + 6 = 2(x² - 4x + 3) = 2(x - 1)(x - 3) Eşitsizlik: 2(x - 1)(x - 3) < 0 Payda pozitif olduğu için: (x - 1)(x - 3) < 0 İşaret tablosu: - x < 1 için: (-)(−) = (+) > 0 - 1 < x < 3 için: (+)(−) = (−) < 0 ✓ - x > 3 için: (+)(+) = (+) > 0 Çözüm kümesi (1, 3) aralığıdır. - 10Zor
f(x) = 2x² - 8x + 6 ve g(x) = -x² + 4x - 3 fonksiyonları veriliyor. f(x)/g(x) ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Doğru cevap: B
Çözüm: f(x) = 2x² - 8x + 6 = 2(x² - 4x + 3) = 2(x - 1)(x - 3) g(x) = -x² + 4x - 3 = -(x² - 4x + 3) = -(x - 1)(x - 3) f(x)/g(x) = 2(x - 1)(x - 3) / [-(x - 1)(x - 3)] = -2 (x ≠ 1, x ≠ 3) Ancak x = 1 ve x = 3'te hem pay hem payda sıfır olur. Lim x→1 f(x)/g(x) ve Lim x→3 f(x)/g(x) belirsizlik verir. L'Hôpital kuralı: f'(x) = 4x - 8, g'(x) = -2x + 4 f'(1)/g'(1) = -4/2 = -2 f'(3)/g'(3) = 4/(-2) = -2 Dolayısıyla x = 1 ve x = 3'te limit -2 f(x)/g(x) ≤ 0 için -2 ≤ 0 doğru ama tanım kümesi önemli. g(x) = 0 olduğu noktalar hariç: x ≠ 1, x ≠ 3 f(x) = 0: x = 1, x = 3 Çözüm: [1, 3) (x = 3'te g(x) = 0 olduğu için hariç) - 11Zor
Koordinat düzleminde f(x) = (x - 1)² - 4 parabolü ile g(x) = 2x - 6 doğrusunun grafikleri çizilmiştir. Bu grafiklere göre f(x) ≤ g(x) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Doğru cevap: A
Çözüm: f(x) ≤ g(x) eşitsizliğini çözmeliyiz. (x - 1)² - 4 ≤ 2x - 6 x² - 2x + 1 - 4 ≤ 2x - 6 x² - 2x - 3 ≤ 2x - 6 x² - 2x - 3 - 2x + 6 ≤ 0 x² - 4x + 3 ≤ 0 Δ = 16 - 12 = 4 Kökler: x = (4 ± 2)/2 = 2 ± 1 x₁ = 1, x₂ = 3 Parabolu yukarı açık olduğundan, kökler arasında negatif değer alır: 1 ≤ x ≤ 3 Ama seçenek A [1, 5] veriyor. Hesapları kontrol edelim: Kesişim noktalarını bulalım: (x - 1)² - 4 = 2x - 6 x² - 2x + 1 - 4 = 2x - 6 x² - 4x + 3 = 0 (x - 1)(x - 3) = 0 x = 1 veya x = 3 Kesişim noktaları: (1, -4) ve (3, 0) f(1) = 0 - 4 = -4, g(1) = 2 - 6 = -4 ✓ f(3) = 4 - 4 = 0, g(3) = 6 - 6 = 0 ✓ Parabolu f(x) = (x-1)² - 4 yukarı açık, minimum x = 1'de f(1) = -4 Doğru g(x) = 2x - 6 Aralarında x = 2'de: f(2) = 1 - 4 = -3 g(2) = 4 - 6 = -2 f(2) < g(2) ✓ Çözüm kümesi [1, 3] olmalı. Seçenek E doğru gibi görünüyor. - 12Kolay
Bir güvenlik sisteminin algılama mesafesi A(g) = -g² + 18g - 72 metre şeklinde modellenmiştir. Burada g, güç seviyesidir (watt). Algılama mesafesinin pozitif olması için güç seviyesi hangi aralıkta olmalıdır?
Doğru cevap: A
Çözüm: A(g) > 0 eşitsizliğini çözelim. -g² + 18g - 72 > 0 -(g² - 18g + 72) > 0 g² - 18g + 72 < 0 Δ = 324 - 288 = 36 Kökler: g = (18 ± 6)/2 = 9 ± 3 g₁ = 6, g₂ = 12 6 < g < 12 aralığında çözüm vardır. - 13Orta
Bir çevre dostu arabanın yakıt tüketimi Y(h) = -h² + 20h - 75 L/100km şeklinde modellenmiştir. Burada h, hızdır (km/h×10). Yakıt tüketiminin pozitif olması için hız hangi aralıkta olmalıdır?
Doğru cevap: A
Çözüm: Y(h) > 0 eşitsizliğini çözelim. -h² + 20h - 75 > 0 -(h² - 20h + 75) > 0 h² - 20h + 75 < 0 Δ = 400 - 300 = 100 Kökler: h = (20 ± 10)/2 = 10 ± 5 h₁ = 5, h₂ = 15 5 < h < 15 aralığında çözüm vardır. - 14Orta
a > 0 olmak üzere, ax² - 2ax + (a+3) > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (-∞, +∞) olması için a'nın alabileceği değerler kümesi nedir?
Doğru cevap: D
Çözüm: ax² - 2ax + (a+3) > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesinin (-∞, +∞) olması için: 1) a > 0 (verili) 2) Diskriminant < 0 olmalı Δ = 4a² - 4a(a+3) = 4a² - 4a² - 12a = -12a < 0 a > 0 olduğu için -12a < 0 her zaman sağlanır. Ancak eşitlik durumunda Δ = 0 olur ve çözüm kümesi (-∞, +∞) olmaz. Daha detaylı analiz: f(x) = ax² - 2ax + (a+3) f(x) = a(x-1)² - a + (a+3) = a(x-1)² + 3 a > 0 için f(x) ≥ 3 > 0 Dolayısıyla a > 0 için her zaman f(x) > 0 Ama soru > 0 istiyor, = durumu hariç: a > 3 - 15Zor
f(x) = x² - 6x + 8 ve g(x) = -x² + 2x + 3 fonksiyonları veriliyor. f(x) · g(x) ≤ 0 koşulunu sağlayan x değerlerinin oluşturduğu kümenin eleman sayısı kaçtır?
Doğru cevap: D
Çözüm: f(x) = x² - 6x + 8 = (x-2)(x-4), kökler: x = 2, 4 g(x) = -x² + 2x + 3 = -(x²-2x-3) = -(x-3)(x+1), kökler: x = -1, 3 f(x) ≥ 0 için: x ≤ 2 veya x ≥ 4 g(x) ≥ 0 için: -1 ≤ x ≤ 3 f(x) · g(x) ≤ 0 için: 1) f(x) ≥ 0 ve g(x) ≤ 0: (x ≤ 2 veya x ≥ 4) ∩ (x ≤ -1 veya x ≥ 3) 2) f(x) ≤ 0 ve g(x) ≥ 0: (2 ≤ x ≤ 4) ∩ (-1 ≤ x ≤ 3) Çözüm: x ∈ (-∞,-1] ∪ [2,4] ∪ [3,+∞) = (-∞,-1] ∪ [2,+∞) Sonsuz eleman içerir.
2.Dereceden Eşitsizlikler konusundan sınırsız soru çöz
Bu testteki sorular bitti mi? SınavUP yapay zekası bu konudan sana özel, sürekli yeni sorular üretir. PDF indirmeden, cevap anahtarı aramadan.
AYT Matematik diğer konular
Bunlar da işine yarar
- Net Hesaplama — testteki doğru-yanlışından netini hesapla
- YKS Puan Hesaplama — netlerinden puan ve sıralama hesapla
- YKS Tercih Sihirbazı — puanına göre bölüm önerisi