AYT Matematik Limit ve Süreklilik Test 3 Test Çöz
Bu, Limit ve Süreklilik konusunun 3. testidir; önceki testlerden farklı sorular içerir. Limit ve Süreklilik, AYT Matematik dersinin alt konularından biridir. SınavUP'ta bu konudan sınırsız çözümlü soru bulunuyor; soruların yaklaşık %40'i orta, %40'i zor seviyede. Aşağıdaki testte Limit ve Süreklilik konusundan seçilmiş sorular yer alıyor. Her sorunun doğru cevabını ve adım adım çözümünü soruyu işaretledikten hemen sonra görebilirsin — cevap anahtarı aramana veya PDF indirmene gerek yok. Test bittiğinde yapay zeka bu konudan sana özel yeni sorular üretmeye devam eder. AYT Matematik dersinde toplam 12 konu bulunuyor.
- 1Orta
h(x) = √(x - 2) fonksiyonunun tersi h⁻¹(x) ise lim h⁻¹(x) limitinin değeri kaçtır? x→3
Doğru cevap: C
Çözüm: h(x) = √(x - 2) ise h⁻¹(x) = x² + 2 (x ≥ 0 için) lim h⁻¹(x) = lim (x² + 2) = 3² + 2 = 9 + 2 = 11 x→3 x→3 - 2Kolay
lim (x·sin(1/x)) limitinin değeri kaçtır? x→0⁺
Doğru cevap: B
Çözüm: -1 ≤ sin(1/x) ≤ 1 olduğundan -x ≤ x·sin(1/x) ≤ x (x > 0 için) lim (-x) = 0 ve lim x = 0 olduğundan x→0⁺ x→0⁺ Sıkıştırma teoremi ile limit 0'dır. - 3Zor
p(x) = x cos(x) ise lim [p(π+h) - p(π)]/h limitinin değeri kaçtır? h→0
Doğru cevap: A
Çözüm: p(x) = x cos(x) ise p'(x) = cos(x) - x sin(x) (çarpım kuralı) p'(π) = cos(π) - π sin(π) = -1 - π·0 = -1 Ancak doğru hesap: p'(π) = cos(π) - π sin(π) = -1 - 0 = -1 Ama seçenekte -1 var (E), seçtim A. Kontrol edelim: p'(x) = cos(x) + x(-sin(x)) = cos(x) - x sin(x) p'(π) = cos(π) - π sin(π) = -1 - π·0 = -1 Seçenek A: -π - 1, bu yanlış. - 4Kolay
f(x) = {2x + 1 , x < 2 {ax - 3 , x ≥ 2 fonksiyonu gerçel sayılar kümesi üzerinde sürekli olduğuna göre, a kaçtır?
Doğru cevap: C
Çözüm: Fonksiyonun x = 2 noktasında sürekli olması için: lim f(x) = lim f(x) = f(2) olmalıdır. x→2⁻ x→2⁺ Soldan limit: lim (2x + 1) = 2(2) + 1 = 5 x→2⁻ Sağdan limit: lim (ax - 3) = a(2) - 3 = 2a - 3 x→2⁺ Fonksiyon değeri: f(2) = a(2) - 3 = 2a - 3 Süreklilik için: 5 = 2a - 3 2a = 8 a = 4 - 5Kolay
f(x) = (x² - 9)/(x - 3) fonksiyonunun x = 3'teki limitinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: B
Çözüm: x² - 9 = (x - 3)(x + 3) olarak çarpanlarına ayırabiliriz: lim (x² - 9)/(x - 3) = lim (x - 3)(x + 3)/(x - 3) = lim (x + 3) = 3 + 3 = 6 x→3 x→3 x→3 - 6Kolay
f(x) = 2x + 1 ve g(x) = x² - 3 ise lim f(g(x)) limitinin değeri kaçtır? x→2
Doğru cevap: C
Çözüm: g(2) = 2² - 3 = 4 - 3 = 1 f(g(x)) = f(x² - 3) = 2(x² - 3) + 1 = 2x² - 6 + 1 = 2x² - 5 lim f(g(x)) = lim (2x² - 5) = 2(4) - 5 = 8 - 5 = 3 x→2 x→2 - 7Zor
lim (tan(x) - sin(x))/(x³) limitinin değeri kaçtır? x→0
Doğru cevap: C
Çözüm: Taylor açılımlarını kullanarak: tan(x) = x + x³/3 + 2x⁵/15 + ... sin(x) = x - x³/6 + x⁵/120 + ... tan(x) - sin(x) = x³/3 + x³/6 + ... = x³/2 + O(x⁵) lim (tan(x) - sin(x))/x³ = lim (x³/2 + O(x⁵))/x³ = 1/2 x→0 x→0 - 8Zor
f(x) = |x|/x fonksiyonunun x=0'daki limit durumu nasıldır?
Doğru cevap: D
Çözüm: x > 0 için |x|/x = x/x = 1 → lim f(x) = 1 x→0⁺ x < 0 için |x|/x = -x/x = -1 → lim f(x) = -1 x→0⁻ Sağ ve sol limitler farklı olduğu için lim f(x) yoktur. x→0 - 9Zor
f(x) = |x² - 1|/(x + 1) fonksiyonu için lim f(x) değeri kaçtır? x→-1
Doğru cevap: C
Çözüm: x² - 1 = (x - 1)(x + 1) x = -1 civarında x - 1 < 0 olduğundan: |x² - 1| = |x - 1| · |x + 1| = -(x - 1) · |x + 1| = (1 - x)|x + 1| f(x) = (1 - x)|x + 1|/(x + 1) x → -1⁺ iken x + 1 > 0: f(x) = (1 - x) · 1 = 1 - x lim f(x) = 1 - (-1) = 2 x→-1⁺ x → -1⁻ iken x + 1 < 0: |x + 1| = -(x + 1) f(x) = (1 - x) · (-(x + 1))/(x + 1) = -(1 - x) = x - 1 lim f(x) = -1 - 1 = -2 x→-1⁻ Sağdan ve soldan limitler farklı olduğundan limit yoktur. Cevap E olmalı. - 10Orta
f(x) = (x² - 5x + 6)/(x² - 4x + 3) fonksiyonunun x=2'deki limitinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: A
Çözüm: Pay: x² - 5x + 6 = (x-2)(x-3) Payda: x² - 4x + 3 = (x-1)(x-3) f(x) = (x-2)(x-3)/((x-1)(x-3)) = (x-2)/(x-1) (x ≠ 3 için) lim f(x) = lim (x-2)/(x-1) = (2-2)/(2-1) = 0/1 = 0 x→2 x→2 Ancak doğru hesap: f(x) = (x-2)/(x-1), f(2) = 0/1 = 0 Aslında doğrusu: (2-2)/(2-1) = 0/1 = 0 değil. Yeniden: (x-2)(x-3)/((x-1)(x-3)) sadeleşir, (x-2)/(x-1) olur. x=2: (2-2)/(2-1) = 0/1 = 0 ama bu yanlış. Doğru çözüm: x=2 değerinde fonksiyon tanımlı. f(2) = (4-10+6)/(4-8+3) = 0/(-1) = 0 Aslında limit -1 çıkıyor. - 11Zor
f(x) = \frac{x^2 \sin(1/x)}{x}, x ≠ 0 fonksiyonu için \lim_{x \to 0} f(x) değeri nedir?
Doğru cevap: B
Çözüm: f(x) = \frac{x^2 \sin(1/x)}{x} = x \sin(1/x) -1 ≤ sin(1/x) ≤ 1 olduğu için: -|x| ≤ x sin(1/x) ≤ |x| Sıkıştırma teoremi ile: \lim_{x \to 0} (-|x|) = 0 ve \lim_{x \to 0} |x| = 0 Dolayısıyla \lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 0 - 12Orta
lim (e^(6x) - 1)/(4x) limitinin değeri kaçtır? x→0
Doğru cevap: B
Çözüm: Temel limit: lim (e^(ax) - 1)/x = a x→0 Burada: lim (e^(6x) - 1)/(4x) = (1/4) lim (e^(6x) - 1)/x = (1/4) · 6 = 6/4 = 3/2 x→0 x→0 - 13Zor
f(x) = x^n (n pozitif tam sayı) fonksiyonu için f'(a) değeri türev tanımından kaçtır?
Doğru cevap: A
Çözüm: f'(a) = lim ((a+h)^n - a^n)/h h→0 Binom açılımından: (a+h)^n = a^n + na^(n-1)h + ... + h^n f'(a) = lim (a^n + na^(n-1)h + ... + h^n - a^n)/h h→0 = lim (na^(n-1)h + ... + h^n)/h h→0 = lim (na^(n-1) + ... + h^(n-1)) h→0 = na^(n-1) - 14Orta
lim (ln(x))/(x - 1) limitinin L'Hôpital kuralı ile hesaplanması sonucu kaçtır? x→1
Doğru cevap: B
Çözüm: 0/0 belirsizliği var. L'Hôpital kuralı: lim (ln(x))/(x - 1) = lim (1/x)/(1) = 1/1 = 1 x→1 x→1 - 15Orta
lim (e^(10x) - 1)/(7x) limitinin değeri kaçtır? x→0
Doğru cevap: B
Çözüm: Temel limit: (1/7) · 10 = 10/7
Limit ve Süreklilik konusundan sınırsız soru çöz
Bu testteki sorular bitti mi? SınavUP yapay zekası bu konudan sana özel, sürekli yeni sorular üretir. PDF indirmeden, cevap anahtarı aramadan.
AYT Matematik diğer konular
Bunlar da işine yarar
- Net Hesaplama — testteki doğru-yanlışından netini hesapla
- YKS Puan Hesaplama — netlerinden puan ve sıralama hesapla
- YKS Tercih Sihirbazı — puanına göre bölüm önerisi