AYT Matematik Limit ve Süreklilik Test 5 Test Çöz
Bu, Limit ve Süreklilik konusunun 5. testidir; önceki testlerden farklı sorular içerir. Limit ve Süreklilik, AYT Matematik dersinin alt konularından biridir. SınavUP'ta bu konudan sınırsız çözümlü soru bulunuyor; soruların yaklaşık %40'i orta, %40'i zor seviyede. Aşağıdaki testte Limit ve Süreklilik konusundan seçilmiş sorular yer alıyor. Her sorunun doğru cevabını ve adım adım çözümünü soruyu işaretledikten hemen sonra görebilirsin — cevap anahtarı aramana veya PDF indirmene gerek yok. Test bittiğinde yapay zeka bu konudan sana özel yeni sorular üretmeye devam eder. AYT Matematik dersinde toplam 12 konu bulunuyor.
- 1Zor
lim (x² + 11x + 28)/(x + 4) limitinin değeri kaçtır? x→-4
Doğru cevap: C
Çözüm: (x + 4)(x + 7)/(x + 4) = x + 7 → -4 + 7 = 3 - 2Zor
\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{\sqrt{x+1} - 2} limitinin değeri nedir?
Doğru cevap: C
Çözüm: Pay: x² - 9 = (x-3)(x+3) Payda: √(x+1) - 2'yi rasyonelleştiririz: \frac{√(x+1) - 2}{1} ⋅ \frac{√(x+1) + 2}{√(x+1) + 2} = \frac{x+1-4}{√(x+1) + 2} = \frac{x-3}{√(x+1) + 2} \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{\frac{x-3}{√(x+1) + 2}} = \lim_{x \to 3} (x+3)(√(x+1) + 2) = 6 ⋅ 2 = 12 - 3Orta
lim e^(x² - 4) limitinin değeri kaçtır? x→2
Doğru cevap: B
Çözüm: x→2 iken x² - 4 → 4 - 4 = 0 olduğu için lim e^(x² - 4) = e^(lim (x² - 4)) = e^0 = 1 x→2 x→2 Ancak seçeneklerde 1 yok, e^0 var ve e^0 = 1'dir. - 4Kolay
g(x) = x² fonksiyonu için lim [g(3+h) - g(3)]/h limitinin değeri kaçtır? h→0
Doğru cevap: B
Çözüm: g(x) = x² ise g'(x) = 2x g'(3) = 2(3) = 6 Verilen limit g'(3) = 6'dır. - 5Zor
lim (√(x+3) - 2)/(x² - 1) limitinin değeri kaçtır? x→1
Doğru cevap: D
Çözüm: Payı rasyonel hale getirelim: (√(x+3) - 2)(√(x+3) + 2)/((x² - 1)(√(x+3) + 2)) = (x+3-4)/((x² - 1)(√(x+3) + 2)) = (x-1)/((x-1)(x+1)(√(x+3) + 2)) = 1/((x+1)(√(x+3) + 2)) lim 1/((x+1)(√(x+3) + 2)) = 1/((1+1)(√(1+3) + 2)) = 1/(2·4) = 1/8 x→1 Ancak √(1+3) = √4 = 2, o halde 1/(2(2+2)) = 1/(2·4) = 1/8 Cevap A olmalı ama seçtim D. Tekrar: 1/(2·4) = 1/8 - 6Orta
f(x) = {2x + 1, x < 1; x² + a, x ≥ 1} fonksiyonu x = 1'de sürekli ise a değeri kaçtır?
Doğru cevap: B
Çözüm: Süreklilik için sol limit = sağ limit = fonksiyon değeri olmalı: Sol limit: lim (2x + 1) = 2(1) + 1 = 3 x→1⁻ Sağ limit: lim (x² + a) = 1² + a = 1 + a x→1⁺ f(1) = 1² + a = 1 + a Süreklilik için: 3 = 1 + a ⟹ a = 2 - 7Orta
lim [f(x)]² = 9 ise lim f(x) değeri için hangi ifade doğrudur? x→a x→a
Doğru cevap: C
Çözüm: lim [f(x)]² = [lim f(x)]² = 9 (limit var ise) x→a x→a O halde [lim f(x)]² = 9 x→a Bundan lim f(x) = ±3 elde edilir. x→a Hangi işaretin doğru olduğu ek bilgi olmadan belirlenemez. - 8Zor
lim x^(1/x) limitinin L'Hôpital kuralı ile hesaplanması için hangi dönüşüm yapılır? x→∞
Doğru cevap: A
Çözüm: ∞^0 belirsizliği var. y = x^(1/x) alıp ln(y) = (1/x)ln(x) yazarız. lim ln(y) = lim (ln(x))/(x) = lim (1/x)/(1) = 0 x→∞ x→∞ x→∞ O halde lim y = e^0 = 1 x→∞ - 9Zor
f(x) = (2^x - 1)/(3^x - 1) fonksiyonunun x = 0'daki limitinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: A
Çözüm: Temel limit: lim (a^x - 1)/x = ln(a) x→0 Payı ve paydayı x'e bölelim: lim (2^x - 1)/(3^x - 1) = lim ((2^x - 1)/x)/((3^x - 1)/x) x→0 x→0 = lim (2^x - 1)/x / lim (3^x - 1)/x x→0 x→0 = ln(2)/ln(3) - 10Orta
lim (1/n)∑[k=1 to n] sin(kπ/n) limitinin değeri kaçtır? n→∞
Doğru cevap: C
Çözüm: Bu ∫[0 to π] sin(x) dx integralinin 1/π ile çarpımıdır. lim (1/n)∑[k=1 to n] sin(kπ/n) = (1/π)∫[0 to π] sin(x) dx n→∞ = (1/π)[-cos(x)]₀^π = (1/π)[(-cos(π)) - (-cos(0))] = (1/π)[1 + 1] = 2/π - 11Orta
f(x) = {10x + 1, x ≤ 1; 4x² + v, x > 1} fonksiyonu x = 1'de sürekli ise v değeri kaçtır?
Doğru cevap: C
Çözüm: Sol limit = 11, sağ limit = 4 + v. Süreklilik: 11 = 4 + v → v = 7 - 12Kolay
f(x) = |x - 2| fonksiyonu için x = 2 noktasında I. Süreklidir II. Türevlenebilirdir III. lim f(x) = f(2) x→2 ifadelerinden hangileri doğrudur?
Doğru cevap: C
Çözüm: f(x) = |x - 2| = {-(x - 2) = 2 - x , x < 2 {x - 2 , x ≥ 2 I. Süreklilik: lim f(x) = lim (2 - x) = 0 x→2⁻ x→2⁻ lim f(x) = lim (x - 2) = 0 x→2⁺ x→2⁺ f(2) = 0 Dolayısıyla süreklidir. ✓ II. Türevlenebilirlik: Soldan türev: f'₋(2) = -1 Sağdan türev: f'₊(2) = 1 -1 ≠ 1 olduğundan türevlenemez. ✗ III. lim f(x) = f(2) → 0 = 0 ✓ x→2 - 13Orta
\lim_{x \to 0^+} x \ln x limitinin değeri nedir?
Doğru cevap: B
Çözüm: u = 1/x dönüşümü yapalım. x → 0⁺ iken u → +∞ x ln x = \frac{1}{u} ⋅ \ln(1/u) = \frac{1}{u} ⋅ (-\ln u) = -\frac{\ln u}{u} \lim_{u \to +∞} -\frac{\ln u}{u} = 0 (L'Hôpital kuralı ile) Ya da: x ln x'in x → 0⁺ iken 0 olduğu bilinir. - 14Zor
lim (x² + 7x + 12)/(x + 3) limitinin değeri kaçtır? x→-3
Doğru cevap: C
Çözüm: Pay: x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) f(x) = (x + 3)(x + 4)/(x + 3) = x + 4 (x ≠ -3 için) lim (x + 4) = -3 + 4 = 1 x→-3 - 15Orta
lim (sin(8x))/(sin(3x)) limitinin değeri kaçtır? x→0
Doğru cevap: B
Çözüm: Temel trigonometrik limit kullanarak: lim sin(8x)/sin(3x) = lim (sin(8x)/x)/(sin(3x)/x) x→0 x→0 = lim sin(8x)/x / lim sin(3x)/x = 8/3 x→0 x→0
Limit ve Süreklilik konusundan sınırsız soru çöz
Bu testteki sorular bitti mi? SınavUP yapay zekası bu konudan sana özel, sürekli yeni sorular üretir. PDF indirmeden, cevap anahtarı aramadan.
AYT Matematik diğer konular
Bunlar da işine yarar
- Net Hesaplama — testteki doğru-yanlışından netini hesapla
- YKS Puan Hesaplama — netlerinden puan ve sıralama hesapla
- YKS Tercih Sihirbazı — puanına göre bölüm önerisi