AYT Matematik Limit ve Süreklilik Test 4 Test Çöz
Bu, Limit ve Süreklilik konusunun 4. testidir; önceki testlerden farklı sorular içerir. Limit ve Süreklilik, AYT Matematik dersinin alt konularından biridir. SınavUP'ta bu konudan sınırsız çözümlü soru bulunuyor; soruların yaklaşık %40'i orta, %40'i zor seviyede. Aşağıdaki testte Limit ve Süreklilik konusundan seçilmiş sorular yer alıyor. Her sorunun doğru cevabını ve adım adım çözümünü soruyu işaretledikten hemen sonra görebilirsin — cevap anahtarı aramana veya PDF indirmene gerek yok. Test bittiğinde yapay zeka bu konudan sana özel yeni sorular üretmeye devam eder. AYT Matematik dersinde toplam 12 konu bulunuyor.
- 1Orta
\lim_{x \to 0} \frac{e^{ax} - 1}{e^{bx} - 1} limitinin değeri (a, b ≠ 0) nedir?
Doğru cevap: A
Çözüm: \lim_{x \to 0} \frac{e^{ax} - 1}{e^{bx} - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{ax} - 1}{ax} ⋅ \frac{ax}{bx} ⋅ \frac{bx}{e^{bx} - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{ax} - 1}{ax} ⋅ \frac{a}{b} ⋅ \frac{bx}{e^{bx} - 1} = 1 ⋅ \frac{a}{b} ⋅ 1 = \frac{a}{b} Çünkü \lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1 - 2Kolay
lim (3x³ - 2x + 5)/(2x² + x - 1) limitinin değeri kaçtır? x→∞
Doğru cevap: C
Çözüm: Pay derecesi (3) payda derecesinden (2) büyük olduğu için limit ∞'dur. Çünkü x→∞ iken 3x³ terimi diğer tüm terimlerden çok daha hızlı büyür. - 3Kolay
f(x) = √x fonksiyonu için f'(4) değeri türev tanımından kaçtır?
Doğru cevap: B
Çözüm: f'(4) = lim (√(4+h) - √4)/h h→0 = lim (√(4+h) - 2)/h h→0 Rasyonelleştirme yapalım: = lim (√(4+h) - 2)/h · (√(4+h) + 2)/(√(4+h) + 2) h→0 = lim ((4+h) - 4)/(h(√(4+h) + 2)) h→0 = lim h/(h(√(4+h) + 2)) h→0 = lim 1/(√(4+h) + 2) h→0 = 1/(√4 + 2) = 1/4 - 4Kolay
g(x) = x³ - 1 fonksiyonunun tersi g⁻¹(x) ise lim g⁻¹(x) limitinin değeri kaçtır? x→7
Doğru cevap: B
Çözüm: g(x) = x³ - 1 ise g⁻¹(x) = ∛(x + 1) lim g⁻¹(x) = lim ∛(x + 1) = ∛(7 + 1) = ∛8 = 2 x→7 x→7 - 5Kolay
f(x) = (x² - 256)/(x - 16) fonksiyonunun x = 16'daki limitinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: B
Çözüm: x² - 256 = (x - 16)(x + 16) → lim (x + 16) = 32 - 6Orta
lim (√(x + 7) - √7)/(x) limitinin değeri kaçtır? x→0
Doğru cevap: A
Çözüm: Payı rasyonel hale getirelim: (√(x + 7) - √7)(√(x + 7) + √7)/(x(√(x + 7) + √7)) = (x + 7 - 7)/(x(√(x + 7) + √7)) = x/(x(√(x + 7) + √7)) = 1/(√(x + 7) + √7) lim 1/(√(x + 7) + √7) = 1/(√7 + √7) = 1/(2√7) x→0 - 7Zor
f(x) = 1/x ve g(x) = x² - 1 fonksiyonları için lim f(g(x)) varsa değeri kaçtır? x→1
Doğru cevap: E
Çözüm: f(g(x)) = f(x² - 1) = 1/(x² - 1) x→1 iken x² - 1 → 0 olduğu için payda sıfıra yaklaşır. Sağdan limit: x→1⁺ iken x² - 1 → 0⁺ → f(g(x)) → +∞ Soldan limit: x→1⁻ iken x² - 1 → 0⁻ → f(g(x)) → -∞ İki taraflı limit farklı olduğu için limit yoktur. - 8Zor
f(x) = (e^x - e^2)/(x - 2) fonksiyonunun x = 2'deki limitinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: B
Çözüm: Bu limit f(x) = e^x fonksiyonunun x = 2'deki türev tanımıdır: f'(x) = e^x olduğundan f'(2) = e² Alternatif olarak: t = x - 2 dönüşümü ile x = t + 2 lim (e^(t+2) - e²)/t = e² lim (e^t - 1)/t = e² · 1 = e² t→0 t→0 - 9Zor
lim (x² + 9x + 20)/(x + 4) limitinin değeri kaçtır? x→-4
Doğru cevap: C
Çözüm: (x + 4)(x + 5)/(x + 4) = x + 5 → -4 + 5 = 1 - 10Orta
lim (sin(7x))/(4x) limitinin değeri kaçtır? x→0
Doğru cevap: B
Çözüm: Temel trigonometrik limit kullanarak: lim (sin(7x))/(4x) = (7/4) lim (sin(7x))/(7x) = (7/4) · 1 = 7/4 x→0 x→0 - 11Zor
lim (sin(3x) - 3sin(x))/(x³) limitinin değeri kaçtır? x→0
Doğru cevap: B
Çözüm: Taylor açılımı kullanarak: sin(3x) = 3x - (3x)³/6 + ... = 3x - 27x³/6 + ... 3sin(x) = 3(x - x³/6 + ...) = 3x - 3x³/6 + ... sin(3x) - 3sin(x) = -27x³/6 + 3x³/6 = -24x³/6 = -4x³ lim (-4x³)/(x³) = -4 x→0 Ancak hesap hatası var. Doğru sonuç -9'dur. - 12Zor
f(x) = (5^x - 5^3)/(x - 3) fonksiyonunun x = 3'teki limitinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: C
Çözüm: Bu limit f(x) = 5^x fonksiyonunun x = 3'teki türev tanımıdır: f'(x) = 5^x · ln(5) olduğundan f'(3) = 5³ · ln(5) = 125ln(5) - 13Zor
F'(x) = f(x) ve F(a) = 0 ise lim (1/h)∫[a to a+h] f(t) dt limitinin değeri kaçtır? h→0
Doğru cevap: B
Çözüm: Kalkülüsün Temel Teoremi gereği: lim (1/h)∫[a to a+h] f(t) dt = f(a) h→0 Bu türevin tanımıyla da elde edilebilir: = lim (F(a+h) - F(a))/h = F'(a) = f(a) h→0 - 14Kolay
lim (14x + 3)/(7x - 1) limitinin değeri kaçtır? x→∞
Doğru cevap: B
Çözüm: Sonsuzda limit için en yüksek dereceli terimlerin katsayılarının oranı: 14/7 = 2 - 15Zor
\lim_{x \to 1} \frac{x^5 - 1}{x^3 - 1} limitinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: C
Çözüm: Pay: x⁵ - 1 = (x-1)(x⁴+x³+x²+x+1) Payda: x³ - 1 = (x-1)(x²+x+1) \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x⁴+x³+x²+x+1)}{(x-1)(x²+x+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x⁴+x³+x²+x+1}{x²+x+1} x = 1 için: \frac{1+1+1+1+1}{1+1+1} = \frac{5}{3}
Limit ve Süreklilik konusundan sınırsız soru çöz
Bu testteki sorular bitti mi? SınavUP yapay zekası bu konudan sana özel, sürekli yeni sorular üretir. PDF indirmeden, cevap anahtarı aramadan.
AYT Matematik diğer konular
Bunlar da işine yarar
- Net Hesaplama — testteki doğru-yanlışından netini hesapla
- YKS Puan Hesaplama — netlerinden puan ve sıralama hesapla
- YKS Tercih Sihirbazı — puanına göre bölüm önerisi